Не всякая зависимость между двумя показателями называется корреляцией.
Все, что ниже, относится к паре признаков, измеренных у одних и тех же людей. Если вы сравниваете два разных класса по одному показателю, это задача про достоверность различий, а не про связь.
Итоговый выбор меры связи и формулировку вывода согласуйте с научным руководителем: требования кафедр различаются.
В двух словах
Половина ошибок в корреляционной главе начинается с того, что связь и корреляцию считают одним и тем же. Четыре пункта ниже разводят эти понятия и показывают, от чего зависит выбор меры.
- Связь между переменными означает, что значения одного признака помогают предсказать значения другого. Жесткой формулы при этом нет: есть облако точек, вытянутое в одну сторону.
- Корреляция это не синоним связи, а одна из ее мер. Она работает на парах чисел или рангов и ловит только монотонную связь: когда один признак растет, второй меняется в одну сторону.
- Меру выбирают по шкалам обоих признаков. Числа с числами это Пирсон, ранги и баллы это Спирмен или Кендалл, категории с категориями это хи-квадрат и V Крамера.
- Любой коэффициент корреляции лежит от −1 до +1. Знак показывает направление, модуль силу. Ноль означает, что монотонной связи нет, но не означает, что связи нет вообще.
Что значит связь между переменными
У каждого участника измерены два показателя сразу: жизненная емкость легких и время на стометровке, балл тревожности и средняя оценка. Получается таблица из пар, а не из двух отдельных столбцов.
Две формы связи. Связь есть, если по первому числу пары можно хоть немного угадать второе. Чем точнее угадывание, тем связь теснее.
Функциональная связь. Одно число получается из другого по формуле: индекс массы тела считается из роста и веса, и разброса тут нет вовсе. Точки ложатся ровно на линию.
Статистическая связь. Так устроены почти все данные диплома. Высокий рост чаще дает дальний прыжок, но не у каждого школьника, и точки собираются в вытянутое облако.
Эту разницу и надо держать в голове: в педагогике и физкультуре встречается только вторая, и вывод про нее звучит осторожнее.
Какой из двух признаков считать причиной, а какой следствием, решает не расчет, а замысел работы: это и есть зависимая и независимая переменная.
Когда связь называют корреляцией
Корреляция это конкретная мера тесноты, а не общее слово для любой зависимости. Применяют ее при двух условиях сразу.
Оба признака упорядочены. Числа, баллы, ранги, места в рейтинге: значения можно расставить от меньшего к большему. Пол и вид спорта так расставить нельзя.
Связь монотонная. Один признак растет, второй все время растет или все время падает. Разворот в середине корреляция не увидит.
Само число получается из ковариацииМера совместного разброса двух признаков. Ее значение зависит от единиц измерения, поэтому сравнивать ковариации между собой нельзя., поделенной на разброс обоих признаков. Именно деление и загоняет результат в границы от −1 до +1, а подробный разбор этого шага лежит в статье про ковариацию и корреляцию.
Три вопроса звучат похоже, а решаются по-разному. «Связаны ли два показателя» это корреляция. «Отличаются ли две группы по одному показателю» это критерий различий. «Насколько изменится результат, если показатель вырастет на единицу» это регрессия. Выбор между двумя последними разобран в статье «Корреляция или регрессия».
Виды связи между признаками
Направление. Его читают по знаку. Плюс значит прямая связь, минус обратная: чем больше жизненная емкость легких, тем меньше секунд на стометровке.
Форма. По знаку ее не увидеть, и вот тут студенты теряют результат. Форм четыре, а коэффициент корреляции честно работает только на двух первых.
Вот как это выглядит на числах. В учебном примере у 12 баскетболистов замерили ситуативную тревожность перед игрой и точность штрафных бросков в процентах.
Тревожность и точность штрафных бросков, учебный пример
| Тревожность, баллы | 22 | 29 | 35 | 41 | 47 | 53 | 57 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Точность, % | 55 | 72 | 81 | 82 | 77 | 65 | 57 |
Связь видна глазом: лучше всего бросают при средней тревожности, а по краям точность падает. Коэффициент Пирсона по всем 12 парам дает r = 0,04 при p = 0,91, то есть формально связи нет.
Вывод «связь между тревожностью и точностью отсутствует» здесь будет ошибкой. Правильный вывод: линейной связи нет, зависимость имеет вид перевернутой буквы U.
Мера связи зависит от шкалы
Меру выбирают по паре шкал, а не по теме работы. Сначала определите шкалу измерения каждого признака, потом смотрите строку таблицы.
Какую меру связи брать для разных пар признаков
| Что за пара признаков | Мера связи | Где разобрано |
|---|---|---|
| Два числовых измерения, связь похожа на прямую | коэффициент Пирсона r | руководство по Пирсону |
| Баллы, места, уровни или ненормальные числа | коэффициент Спирмена ρ | руководство по Спирмену |
| Ранги, выборка меньше 10 или много одинаковых мест | коэффициент Кендалла τ | руководство по Кендаллу |
| Признак «есть или нет» и числовой показатель | точечно-бисериальная корреляция | разбор с примером |
| Две категории: пол и вид спорта, группа и результат зачета | хи-квадрат, сила по V Крамера | таблица сопряженности, V Крамера |
| Связь двух признаков мешает оценить третий | частная корреляция | разбор с формулой |
| Несколько экспертов расставили объекты по местам | коэффициент конкордации Кендалла | согласованность оценок, не связь пары |
- Левая ветка: признаки-категории. Теснота тут считается не корреляцией, а размером эффекта для хи-квадрата.
- Нижняя ветка: самый частый случай в дипломе, и ровно под него сделан калькулятор Пирсона.
Спорный случай между двумя верхними строками таблицы разобран отдельно: Пирсон или Спирмен. Когда признаков не два, а восемь, считают матрицу и рисуют корреляционную плеяду.
Пример из диплома по плаванию
В работе проверяли, связана ли жизненная емкость легких с результатом на стометровке вольным стилем. Обследовали 14 пловцов 15-16 лет, у каждого замерили спирометром емкость легких в миллилитрах и приняли контрольный заплыв. Получилось 14 пар чисел, по одному спортсмену в каждой, а средняя емкость легких в группе составила 5010 ± 389 мл.
Цифры учебные, но путь от таблицы до фразы в дипломе пройден целиком.
Емкость легких и результат заплыва, первые семь пловцов
| Емкость, мл | Результат, с |
|---|---|
| 4300 | 68,4 |
| 4500 | 65,9 |
| 4600 | 67,9 |
| 4750 | 64,2 |
| 4800 | 67,1 |
| 4900 | 63,9 |
| 5000 | 66,4 |
Слева пары чисел, справа те же пары точками. Наклон облака вниз и есть обратная связь: чем больше емкость легких, тем меньше секунд показывает пловец
Выбор меры. Обе шкалы числовые, разброс похож на нормальный, облако вытянуто вдоль прямой. По таблице выше это первая строка, то есть коэффициент Пирсона.
Расчет дает r = −0,78 при 14 парах. Критическое значение для такого объема равно 0,532 при p = 0,05 и 0,661 при p = 0,01, и модуль нашего r больше обоих.
Фраза для диплома: «Между жизненной емкостью легких и результатом на дистанции 100 м вольным стилем выявлена высокая обратная связь (r = −0,78; n = 14; p < 0,01)».
Похожие пары показателей и готовые формулировки собраны в статье про корреляцию в спорте, а ручной счет в таблицах разобран в статье про корреляцию в Excel.
Сила связи и значимость
Это два разных числа, и в работу идут оба. Модуль коэффициента отвечает, насколько связь тесная, а уровень значимостиПорог, ниже которого результат перестают списывать на случайность. В студенческих работах его почти всегда берут равным пяти процентам. отвечает, можно ли вообще верить полученному числу.
Тесноту оценивают по шкале Чеддока: до 0,3 слабая, 0,3-0,5 умеренная, 0,5-0,7 заметная, 0,7-0,9 высокая, выше 0,9 очень высокая. Знак при оценке силы отбрасывают.
Порог зависит от объема. При 14 парах он равен 0,532, а при 100 парах достаточно 0,197. На больших выборках достоверной становится даже слабая связь, поэтому силу и значимость всегда пишут рядом.
Доля объясненной изменчивости. Квадрат коэффициента показывает, какую часть разброса одного признака объясняет второй. В нашем примере r² = 0,61, то есть емкость легких объясняет 61% разброса результатов, а остальное дает техника, стартовая реакция и прочее. Подробнее про этот перевод в статье про коэффициент детерминации.
Чего расчет не показывает. Коэффициент не говорит, что емкость легких улучшает результат: два ряда чисел о причинах не знают. Он молчит и о том, сохранится ли связь у пловцов другого возраста.
Частые ошибки
Написали «зависит» вместо «связан».
Слово «зависимость» читается как причина и следствие, а коэффициент про это ничего не знает. Разбор подмены собран в статье про ложную корреляцию. Пишите «выявлена связь» или «показатели связаны», а причинность обсуждайте отдельно.
Посчитали Пирсона на уровнях.
Ответы «низкий, средний, высокий» задают только порядок, и расстояния между ними не равны. Переведите ответы в ранги и берите Спирмена.
Назвали связь сильной по одному знаку.
Минус означает направление, а не слабость: r = −0,78 теснее, чем r = 0,31. Силу оценивайте по модулю, знак называйте словами «прямая» или «обратная».
Приняли нулевое r за отсутствие связи.
На развороте в середине коэффициент обнуляется, хотя зависимость видна глазом. Постройте диаграмму рассеяния до расчета и посмотрите на форму облака.
Сослались на значимость вместо силы.
При 100 парах значимым становится и r = 0,20, а объясняет такая связь 4% разброса. В таблице приводите и коэффициент, и p, а в выводе называйте тесноту по Чеддоку.
Что делать, если связи нет
Нулевой результат это тоже результат, но сначала проверьте четыре вещи.
- Форму облака точек: разворот в середине корреляция не видит.
- Выбросы в данных: одна далекая точка сдвигает коэффициент Пирсона в любую сторону.
- Шкалы обоих признаков: на баллах и местах нужен Спирмен, а не Пирсон.
- Число пар: при 10 участниках даже заметная связь до порога не дотянет.
Отдельный случай это третья переменная. Связь стажа и результата часто держится на возрасте, и убирает его влияние частная корреляция.
Перебирать коэффициенты, пока один из них не даст p меньше 0,05, нельзя. Мера выбирается по шкалам до расчета, а замена без объяснения выглядит как подгонка. Честная запись выглядит так: «Статистически значимой связи между показателями не выявлено (r = 0,21; n = 14; p = 0,47)».
Частые вопросы
Чем связь отличается от различий
Связь считают внутри одной группы по двум показателям сразу, различия между двумя группами по одному показателю. Если у вас есть контрольная и экспериментальная группы, нужен критерий различий, а не корреляция: как это устроено, показывает статья про достоверность различий.
Какой коэффициент брать, если данные в баллах
Баллы опросника чаще всего идут как ранги, и для них берут коэффициент Спирмена. Пирсона применяют к баллам только тогда, когда шкала достаточно длинная и разброс похож на нормальный.
Можно ли считать корреляцию между полом и результатом
Да, но не обычным коэффициентом. Пол это две категории, поэтому берут точечно-бисериальную корреляцию: она дает то же число, что и Пирсон, если закодировать пол нулем и единицей.
Сколько человек нужно для корреляционного анализа
Жесткой нормы нет, но при 14 парах достоверной становится только связь с модулем больше 0,532, а при 30 парах порог падает до 0,361. Для дипломной работы обычно берут от 20 пар.
Короткий алгоритм
- Проверьте, что вопрос про связь: два показателя у одних и тех же людей, а не две группы по одному показателю.
- Определите шкалу каждого признака и выберите меру по таблице: числа с числами это Пирсон, ранги это Спирмен, категории это хи-квадрат.
- Постройте диаграмму рассеяния до расчета: разворот в середине облака обнулит коэффициент.
- Посчитайте коэффициент и сравните модуль с критическим значением для своего числа пар, при 14 парах это 0,532.
- Запишите два числа рядом: тесноту по Чеддоку и уровень значимости, а при сильной связи добавьте квадрат коэффициента в процентах.
- Не пишите «зависит»: связь не доказывает причину, а проверить влияние третьего показателя помогает частная корреляция.
Если пары уже собраны, а мера связи все еще под вопросом, загляните в базу методов или закажите консультацию: подберем коэффициент под ваши шкалы и оформим таблицу под требования кафедры.