V Крамера и φ: размер эффекта для хи-квадрата

Хи-квадрат показал «p < 0,05» — связь между признаками значима. Но насколько она сильная? Значимость и сила связи — это не одно и то же.

Чтобы ответить на вопрос «насколько сильно связаны признаки», нужен размер эффекта. Для хи-квадрата это коэффициент φ (фи) и V Крамера.

В двух словах

Размер эффекта для хи-квадрата — это число от 0 до 1, которое показывает силу связи между двумя категориальными признаками (а не только сам факт её наличия). Для таблицы 2×2 берут коэффициент φ, для таблиц побольше — V Крамера. Пороги одинаковые: 0,1 — слабая связь, 0,3 — средняя, 0,5 — сильная.

Посчитать χ² и сразу размер эффекта можно в калькуляторе хи-квадрат. Если вы только разбираетесь с самим критерием, начните с руководства по хи-квадрату.

Зачем нужен размер эффекта: значимость ≠ сила

Хи-квадрат отвечает только на вопрос «есть ли связь вообще?». Если p < 0,05, вы вправе сказать: связь между признаками статистически значима. И всё — про её силу критерий молчит.

Проблема в том, что значение χ² зависит от объёма выборки. На большой выборке даже еле заметная связь даёт огромный χ² и крошечное p. Получается красивое «p < 0,001», за которым стоит почти нулевая по практическому смыслу зависимость.

Размер эффекта эту зависимость от n убирает: φ и V «нормированы» — лежат в диапазоне от 0 (связи нет) до 1 (жёсткая связь). Поэтому их можно сравнивать между исследованиями и трактовать по единым порогам.

Коэффициент φ: для таблиц 2×2

φ (фи) — размер эффекта для самого простого случая: оба признака имеют по две категории (таблица 2×2). Например, «пол (м/ж)» и «сдал норматив ГТО (да/нет)».

Формула простая — χ² делят на объём выборки и берут корень:

φ = √(χ² / n)

где χ² — значение критерия хи-квадрат, n — общее число наблюдений (сумма всех частот в таблице).

V Крамера: для больших таблиц

Как только у одного из признаков больше двух категорий (3×2, 3×4, 4×5 и т.д.), φ может выйти за пределы 1 и теряет смысл. Тогда берут V Крамера — обобщение φ, которое всегда остаётся в диапазоне от 0 до 1.

V = √( χ² / (n · (k − 1)) )

где χ² — значение критерия, n — объём выборки, k — меньшее из двух чисел: число строк или число столбцов таблицы. То есть k − 1 — это меньшая из двух «степеней свободы» (число строк минус 1 или число столбцов минус 1, что меньше).

Для таблицы 2×2 здесь k = 2, значит k − 1 = 1, и формула V превращается ровно в формулу φ. Поэтому на практике можно просто всегда считать V Крамера — для 2×2 он совпадёт с φ.

Пороги: как трактовать число

И φ, и V читают по одной шкале Коэна. Пороги — в таблице 1.

Таблица 1 — Трактовка размера эффекта (φ и V Крамера)

Значения между порогами трактуют по близости: 0,2 — «слабая-средняя», 0,4 — «средняя-сильная». Ниже 0,1 связь считают пренебрежимо малой, даже если χ² оказался значимым.

Пример расчёта по таблице сопряжённости

Допустим, вы проверяете, связан ли пол студента с выбором секции (игровые виды / единоборства). Это таблица 2×2, значит подойдёт φ. Данные — в таблице сопряжённости (таблица 2).

Таблица 2 — Распределение выбора секции по полу (n = 80)

Шаг 1. Считаем хи-квадрат по таблице сопряжённости. Сделаем это в калькуляторе хи-квадрат — для наших данных он даёт примерно χ² = 7,5 при df = 1, p ≈ 0,006. Связь значима.

Шаг 2. Считаем размер эффекта. Таблица 2×2 → берём φ:

φ = √(χ² / n) = √(7,5 / 80) = √0,094 ≈ 0,31

Шаг 3. Трактуем. По таблице 1 значение 0,31 — это средняя связь. То есть пол не предопределяет выбор секции жёстко, но заметно влияет: девушки в нашей выборке чаще выбирают игровые виды.

Если бы признаков было больше (например, три секции и три курса — таблица 3×3), мы бы взяли V Крамера: при том же χ² = 7,5, n = 80 и k = 3 получили бы V = √(7,5 / (80 · 2)) = √0,047 ≈ 0,22 — слабая-средняя связь.

Что писать в дипломе

Готовые формулировки — подставьте свои числа:

• «Сила связи оценивалась с помощью коэффициента φ (для таблицы 2×2)».
• «Сила связи между признаками оценивалась коэффициентом V Крамера».
• «Выявлена статистически значимая связь между полом и выбором секции (χ² = 7,5; df = 1; p = 0,006), сила связи средняя (φ = 0,31)».
• «Несмотря на статистическую значимость (p < 0,001), размер эффекта оказался слабым (V = 0,08), что говорит о малой практической выраженности связи».

Обратите внимание на последнюю фразу: именно так размер эффекта спасает от переоценки результата на большой выборке.

Частые ошибки

• Отчитаться только про p, без размера эффекта. «Связь значима» не отвечает на вопрос, насколько она сильная. Нужны оба числа.
• Считать φ для таблицы больше 2×2. Там φ может вылезти за 1 — берите V Крамера.
• Путать n и число групп. В формуле φ = √(χ²/n) под n — общее число наблюдений (здесь 80), а не число строк или столбцов.
• Брать χ² с поправкой Йейтса для φ, а потом трактовать как «обычный». Если считали поправку, упомяните это — значение φ слегка занизится.
• Трактовать большой V как «причинно-следственную связь». Размер эффекта показывает силу связи, но не её направление и не причину.

Частые вопросы

Чем φ отличается от V Крамера?

Это одно и то же семейство. φ — частный случай для таблицы 2×2, V Крамера — обобщение на любые таблицы. Для 2×2 они дают одинаковое число, поэтому можно везде считать V и не ошибиться.

Какие пороги брать — 0,1 / 0,3 / 0,5?

Да, это базовая шкала Коэна: 0,1 — слабая связь, 0,3 — средняя, 0,5 — сильная. Для таблиц больше 2×2 это упрощение (строго пороги зависят от df), но для диплома такой ориентир общепринят — просто оговорите, что это приблизительная трактовка.

Может ли φ или V быть больше 1?

Корректно посчитанный V Крамера всегда лежит от 0 до 1. φ может превысить 1 только если применить его к таблице больше 2×2 — это сигнал, что нужно было брать V.

Чем размер эффекта для хи-квадрата отличается от d Коэна?

d Коэна — это размер эффекта для сравнения средних (числовые данные, например рост или баллы). φ и V — для связи категориальных признаков (частоты в таблице). Подробнее про d — в статье «Размер эффекта (d Коэна)».

Нужен ли размер эффекта, если хи-квадрат незначим?

Если p > 0,05, основной вывод — «связь не доказана». Размер эффекта можно привести как дополнительную характеристику (он, скорее всего, окажется около 0,1 или ниже), но строить на нём выводы не стоит.

Короткий алгоритм

1. Сведите данные в таблицу сопряжённости и посчитайте χ² в калькуляторе.
2. Определите размер таблицы. Если 2×2 — берите φ, если больше — V Крамера (или просто V всегда).
3. Подставьте: φ = √(χ²/n) или V = √(χ²/(n·(k−1))), где k — меньшее число строк/столбцов.
4. Сравните результат с порогами 0,1 / 0,3 / 0,5 и опишите силу связи словами.
5. В дипломе укажите вместе: χ², df, p и размер эффекта.

Что ещё почитать

• Руководство по критерию хи-квадрат — как посчитать сам χ² с нуля.
• Калькулятор хи-квадрат — считает χ² и размер эффекта по вашей таблице.
• Таблица сопряжённости — как правильно свести категориальные данные.
• Размер эффекта (d Коэна) — то же, но для сравнения средних.

Не уверены, какой коэффициент брать и как трактовать число — посчитайте в калькуляторе хи-квадрат, а за помощью под ключ загляните в базу методов или закажите консультацию.