Корреляция Кендалла (τ): когда применять и как считать

Вы нашли два признака, которые, кажется, связаны: чем выше мотивация, тем выше место в рейтинге; чем больше стаж, тем выше разряд. Чтобы доказать связь по баллам и рангам, обычно берут Спирмена — но есть и его «младший брат», коэффициент Кендалла.

Кендалла выбирают, когда выборка совсем маленькая или когда в данных много одинаковых значений. Разберём, что показывает τ (греческая «тау»), чем он отличается от Спирмена и как его описать в дипломе.

В двух словах

• Корреляция Кендалла (обозначается τ, «тау») — это ранговая, непараметрическая мера связи между двумя признаками. Показывает, насколько согласованы порядки двух рядов: если по одному признаку объект выше — выше ли он и по второму.
• По смыслу это «родственник» корреляции Спирмена: оба работают с рангами, не требуют нормальности и устойчивы к выбросам. Кендалла предпочитают на малых выборках и когда в данных много совпадающих рангов (связок).

Если данные числовые и нормальные, для линейной связи мощнее корреляция Пирсона. О различии параметрических и непараметрических методов — в обзоре «Параметрические и непараметрические критерии».

Что показывает коэффициент Кендалла

Представьте, что вы берёте любых двух студентов из выборки и сравниваете их по обоим признакам сразу. Возможны два исхода:

• Согласованная пара (конкорданс): тот, кто выше по первому признаку, выше и по второму. Порядок «совпал».
• Несогласованная пара (дисконданс): по первому признаку выше один студент, а по второму — другой. Порядок «перевернулся».

Коэффициент Кендалла τ — это, по сути, разница между долей согласованных и долей несогласованных пар. Если все пары согласованы, τ = +1 (идеальная прямая связь). Если все перевёрнуты, τ = −1 (идеальная обратная). Если поровну — τ ≈ 0, связи нет.

Как и любой коэффициент корреляции, τ всегда лежит в диапазоне от −1 до +1: знак показывает направление связи, а модуль — её силу.

Когда брать Кендалла, а когда Спирмена

Оба коэффициента ранговые и решают одну задачу — измерить монотонную связь по рангам. Часто они дают близкий вывод. Но в некоторых ситуациях Кендалла предпочтительнее.

Когда брать Кендалла:

• Очень маленькая выборка. При 5–15 наблюдениях распределение τ ведёт себя «спокойнее», и оценка значимости надёжнее, чем у Спирмена.
• Много совпадающих значений (связок). Если признак измерен грубо — например, по 3–5-балльной шкале, и одинаковых баллов масса, у Кендалла есть корректные поправки на связки, и он меньше «искажается».
• Нужна понятная интерпретация. Когда хочется сказать словами «насколько чаще порядок совпадает, чем переворачивается» — это про τ.

Пример. Двое экспертов независимо расставили 8 конкурсных работ по местам (с 1-го по 8-е). Выборка крошечная, данные — чистые ранги. Чтобы оценить согласованность экспертов, берут Кендалла.

Когда брать Спирмена:

• Выборка средняя или большая (примерно от 20–30 пар), связок немного.
• Нужен коэффициент, сопоставимый по величине с Пирсоном (значения ρ обычно ближе к привычному r, чем τ).
• В вашей методичке или у научного руководителя по умолчанию ждут именно Спирмена — он в дипломах встречается чаще.

Пример. У 60 студентов есть баллы тревожности и место в рейтинге успеваемости, совпадений мало. Здесь удобнее и привычнее Спирмен.

Как считать коэффициент Кендалла

Считать вручную не обязательно — всё делает калькулятор корреляции Кендалла. Но понимать логику полезно для защиты.

Базовая идея (для случая без совпадений) выражается формулой:

τ = (P − Q) / (n·(n − 1) / 2)

где:

• P — число согласованных пар (порядок совпал);
• Q — число несогласованных пар (порядок перевернулся);
• n·(n − 1) / 2 — общее число всех возможных пар объектов.

Знаменатель — это просто «сколько всего пар можно составить из n объектов». Числитель — перевес согласованных пар над несогласованными. Делим одно на другое и получаем число от −1 до +1.

Когда в данных есть совпадающие ранги (связки), применяют поправленную версию — её называют τ-b: она корректно учитывает совпадения в знаменателе. Именно τ-b обычно выдают калькуляторы и SPSS, и именно его берут для балльных шкал с повторами.

Алгоритм расчёта вручную выглядит так:

1. Упорядочьте данные по первому признаку (X) — от меньшего к большему.
2. Идите по второму признаку (Y) сверху вниз и для каждого объекта считайте, сколько ниже него значений Y больше (это согласованные пары, P) и сколько меньше (несогласованные, Q).
3. Сложите все P и все Q по всем объектам.
4. Подставьте P, Q и n в формулу (при наличии связок — в формулу τ-b).
5. Проверьте значимость: сравните τ с критическим значением по n или посмотрите на p-значение.

Сила и знак: как читать τ

Силу связи оценивают по модулю коэффициента, знак — отдельно.

• Знак показывает направление: «+» — прямая связь (растут вместе), «−» — обратная (один растёт, другой падает).
• Модуль показывает тесноту. Привычная для дипломов шкала Чеддока создавалась под Пирсона и Спирмена, поэтому к τ её применяют с оговоркой: из-за другой шкалы τ те же отношения дают меньшие числа.

Таблица 1 — Ориентир для оценки силы связи по модулю коэффициента

Правый столбец — грубый ориентир, а не строгий стандарт. Надёжнее опираться на знак, значимость (p) и сам смысл τ как перевеса согласованных пар. Если научный руководитель просит «по Чеддоку», безопаснее посчитать заодно и Спирмена — для него шкала «родная».

Проверка значимости

Сам по себе τ ещё не доказывает, что связь не случайна: на маленькой выборке заметный коэффициент может появиться от случая. Поэтому τ проверяют на статистическую значимость.

Есть два эквивалентных пути:

• По таблице. Сравнить |τ| с критическим значением для вашего n. Если |τ| больше или равно критическому — связь значима.
• По p-значению. Если p < 0,05 — связь статистически значима. Подробнее — в статье «Что такое p-значение».

Чем больше выборка, тем меньший по модулю τ уже считается значимым. Нужное критическое значение по вашему n калькулятор берёт сам и сразу выдаёт p и готовый вывод.

Разбор примера с расчётом

Двое преподавателей независимо оценили 6 студенческих проектов и расставили их по местам (1 — лучший). Нужно понять, насколько согласованы их оценки. Данные — чистые ранги, выборка крошечная, поэтому берём Кендалла.

Таблица 2 — Расчёт согласованных и несогласованных пар (n = 6)

Складываем столбцы: P = 4 + 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 12, Q = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 2. Всего пар: n·(n − 1)/2 = 6·5/2 = 15.

Подставляем в формулу:

τ = (P − Q) / (n·(n − 1)/2) = (12 − 2) / 15 = 10 / 15 ≈ 0,67

Получился τ ≈ 0,67 — высокая прямая связь: эксперты оценивают проекты согласованно. Согласованных пар явно больше, чем перевёрнутых (12 против 2 из 15).

Вывод для диплома: «Оценки двух экспертов согласованы: выявлена высокая прямая связь рангов (τ = 0,67; n = 6). Порядок проектов у экспертов совпадает заметно чаще, чем расходится».

Что писать в дипломе

В тексте укажите: сам коэффициент τ (со знаком и значением), число пар n, уровень значимости p, а словами — направление и тесноту связи. Полезно добавить «человеческую» расшифровку τ как перевеса согласованных пар.

Готовые формулировки:

• «Между показателями выявлена заметная прямая связь (τ = 0,42; p < 0,05): с ростом одного признака порядок по второму чаще сохраняется, чем меняется».
• «Связь обратная и высокая (τ = −0,58; p < 0,01)».
• «Статистически значимой связи не обнаружено (τ = 0,11; p = 0,37)».

Почему именно Кендалла, тоже стоит пояснить одной фразой: «Учитывая малый объём выборки и большое число совпадающих рангов, использован коэффициент ранговой корреляции Кендалла (τ-b)».

Частые ошибки

• Сравнивать τ и ρ как одинаковые числа. У них разные шкалы: τ почти всегда меньше ρ на тех же данных. Это нормально.
• Прикладывать к τ шкалу Чеддока буквально. Она создана под Пирсона и Спирмена; для τ те же связи дают меньшие значения.
• Не учитывать связки. При множестве совпадающих рангов нужен вариант τ-b с поправкой, а не «голая» формула.
• Игнорировать значимость. Заметный τ на крошечной выборке может быть случайным — всегда проверяйте по p или по таблице.
• Трактовать связь как влияние. Согласованность порядков ≠ причинно-следственная зависимость.

Частые вопросы

Что показывает коэффициент Кендалла простыми словами?

Насколько согласованы порядки двух признаков. Берёте любые две пары объектов: если тот, кто выше по одному показателю, выше и по другому, — порядок «совпал». τ — это перевес таких совпадений над «переворотами», число от −1 до +1.

Чем корреляция Кендалла отличается от Спирмена?

Оба ранговые и не требуют нормальности. Спирмен считается через разности рангов и по величине ближе к Пирсону; Кендалла считают через согласованные и несогласованные пары, он устойчивее на малых выборках и при множестве связок, а его значение легче трактовать словами. Что выбрать в спорной паре «Пирсон/Спирмен» — в статье «Корреляция Пирсона или Спирмена».

Какое значение τ считается сильной связью?

Строгого стандарта нет. Ориентир: до 0,2 по модулю — очень слабая, 0,2–0,3 — умеренная, 0,3–0,5 — заметная, 0,5–0,7 — высокая, свыше 0,7 — очень высокая. Надёжнее опираться на знак и значимость, а не только на «силу по таблице».

Сколько нужно наблюдений?

Формально τ считается уже от 4–5 пар, и именно на таких малых выборках он особенно к месту. Но чем больше пар, тем меньший коэффициент уже значим и тем надёжнее вывод.

Что такое τ-a и τ-b?

τ-a — базовый вариант для данных без совпадений. τ-b — версия с поправкой на совпадающие ранги (связки); её и берут для балльных шкал, где повторов много. Калькулятор обычно выдаёт именно τ-b.

Можно ли считать Кендалла в Excel?

Готовой функции для τ в Excel нет (встроенная КОРРЕЛ считает только Пирсона). Поэтому τ удобнее посчитать в онлайн-калькуляторе Кендалла или в SPSS онлайн: «Корреляции» → «Парные» → отметить «Кендалла τ-b».

Короткий алгоритм

1. Данные — баллы или ранги (или ненормальные числа)? Тогда корреляция ранговая: Спирмен или Кендалл. Если числа нормальные и связь линейная — нужен Пирсон.
2. Выборка маленькая или совпадающих рангов много? → берите Кендалла (вариант τ-b).
3. Выборка средняя/большая, связок немного, нужна привычная шкала? → берите Спирмена.
4. Посчитайте τ, оцените знак (направление) и модуль (силу), проверьте значимость (p < 0,05).
5. В выводе укажите τ, n, p и расшифруйте связь словами.

Что ещё почитать

• Корреляция Спирмена: полное руководство — ближайший «родственник» Кендалла с разбором формулы.
• Пирсон или Спирмен — что выбрать — какой коэффициент взять под ваши данные.
• Параметрические и непараметрические критерии — в чём принципиальная разница.
• Шкалы измерения — почему для баллов и рангов берут ранговые методы.
• Что такое p-значение простыми словами — как читать значимость.

Посчитать свои данные за пару минут можно в калькуляторе корреляции Кендалла — он сам найдёт согласованные и несогласованные пары, учтёт связки, посчитает τ, подберёт критическое значение и оформит вывод. Полный список методов — в базе методов, а если нужна вся статистика под ключ — поможет консультация эксперта.