Таблица сопряжённости: как построить и читать

У вас два признака, и оба — категориальные: пол (юноши / девушки) и результат (сдал / не сдал ГТО). Среднее тут не посчитаешь — складывать «не сдал» и «сдал» бессмысленно.

Чтобы увидеть, связаны ли два таких признака, их сводят в таблицу сопряжённости. Это первый шаг почти любого анализа «частота против частоты» — и основа для критерия хи-квадрат.

В двух словах

Таблица сопряжённости (она же кросс-таблица, или таблица 2×2) — это таблица, где строки — категории одного признака, столбцы — категории другого, а в клетках стоит количество объектов, попавших в обе категории сразу.

Построить её и сразу проверить связь критерием хи-квадрат можно в калькуляторе хи-квадрат: вводите частоты по клеткам — получаете χ², p и вывод словами. Полный разбор самого критерия — в руководстве по критерию хи-квадрат.

Как построить таблицу сопряжённости

Нужны две вещи: два категориальных признака и список объектов, у каждого из которых известны обе категории.

Алгоритм простой:

1. Первый признак — в строки. Например, «группа»: контрольная и экспериментальная.
2. Второй признак — в столбцы. Например, «результат»: сдал и не сдал.
3. Считаете объекты в каждой клетке. Клетка — это пересечение строки и столбца: «сколько человек из контрольной группы сдали».
4. Добавляете итоги — суммы по строкам справа и по столбцам снизу. Самая правая нижняя клетка — общее число объектов N.

Размер таблицы называют по числу категорий: 2 категории × 2 категории — это таблица 2×2, 3 группы × 2 исхода — таблица 3×2 и так далее.

Наблюдаемые и ожидаемые частоты

В таблице живут два вида частот, и их важно не путать.

Наблюдаемые частоты (O) — это то, что вы реально посчитали: сколько человек попало в каждую клетку. Их вы записываете руками.

Ожидаемые частоты (E) — это сколько человек оказалось бы в клетке, если бы связи между признаками не было вообще (признаки независимы). Их считают по формуле:

E = (сумма по строке × сумма по столбцу) / N

где сумма по строке и сумма по столбцу — это итоги для той клетки, которую считаете, а N — общее число объектов.

Пример. Если в группе из N = 80 человек строка «экспериментальная» содержит 40 человек, а столбец «сдал» — 50 человек, то ожидаемая частота «сдавших в экспериментальной группе» = 40 × 50 / 80 = 25. То есть «по случайности», без всякого эффекта программы, мы ждали бы 25 сдавших.

Дальше критерий хи-квадрат сравнивает, насколько наблюдаемые частоты отклонились от ожидаемых: чем сильнее O отличается от E, тем больше похоже, что связь есть.

Проценты по строкам и по столбцам

«Голые» частоты сравнивать неудобно, особенно если группы разного размера. Поэтому клетки переводят в проценты — и тут важно выбрать, от чего считать.

Проценты по строке — каждая клетка делится на итог своей строки. Отвечают на вопрос: «какая доля внутри этой группы дала такой результат». Например: «среди экспериментальной группы 75% сдали».

Проценты по столбцу — клетка делится на итог своего столбца. Отвечают: «какую долю этого результата дала каждая группа». Например: «среди всех сдавших 60% — из экспериментальной группы».

Пример таблицы 2×2 и её чтение

Возьмём конкретику. Вы проверяете, помогла ли авторская программа подготовки сдать нормативы ГТО. Две группы по 40 человек, исход — сдал / не сдал.

Таблица 1 — Сдача нормативов ГТО по группам (наблюдаемые частоты, N = 80)

Читаем таблицу по шагам:

• По строкам. В экспериментальной сдали 30 из 40 — это 75%. В контрольной — 20 из 40, то есть 50%. Разница в долях есть: +25 процентных пунктов в пользу программы.
• Ожидаемая частота для клетки «экспериментальная × сдал»: 40 × 50 / 80 = 25. Наблюдали 30 — реальность выше ожидания на 5 человек. Значит, в этой клетке «перевес» в сторону связи.
• Вывод напрашивается, но на глаз связь не доказывают: разницу в 25% нужно проверить критерием хи-квадрат — вдруг она случайна из-за маленькой выборки.

Связь с критерием хи-квадрат

Таблица сопряжённости — это вход для критерия хи-квадрат. Сам критерий собирает все клетки в одно число:

χ² = Σ (O − E)² / E

то есть по каждой клетке берут разницу наблюдаемой и ожидаемой частоты, возводят в квадрат, делят на ожидаемую — и всё складывают. Чем больше χ², тем сильнее таблица отклонилась от картины «связи нет».

Дальше χ² сравнивают с критическим значением (или смотрят p-значение). Если p < 0,05 — связь между признаками статистически значима.

Для таблицы 1 калькулятор даёт χ² ≈ 5,33 при p ≈ 0,021 — связь значима. А ещё одно ограничение: хи-квадрат корректен, только когда ожидаемые частоты в клетках не меньше 5. Если где-то E < 5 (частая беда в таблицах 2×2 на маленьких выборках), используют точный критерий Фишера.

Что писать в дипломе

Подставьте свои числа:

• «Для проверки связи между признаками “группа” и “результат сдачи ГТО” данные сведены в таблицу сопряжённости 2×2 (таблица 1)».
• «В экспериментальной группе нормативы сдали 75% участников, в контрольной — 50%».
• «Значимость связи проверена критерием χ²: χ² = 5,33 при p = 0,021, что меньше 0,05».
• «Выявлена статистически значимая связь между участием в программе и успешностью сдачи нормативов (χ² = 5,33; p < 0,05); сила связи по V Крамера составила 0,26 — средняя».

Частые ошибки

• Класть в клетки проценты или баллы. В клетках только частоты (штуки). Проценты считают отдельно, для чтения.
• Считать проценты не в ту сторону. Решите заранее: по строкам или по столбцам, и держитесь одного направления по всей работе.
• Забыть про ожидаемые частоты < 5. Если хоть в одной клетке E < 5, хи-квадрат некорректен — нужен точный критерий Фишера.
• Принять связь за причинность. Таблица показывает, что признаки связаны, но не доказывает, что один вызвал другой.
• Доказывать связь «на глаз» по разнице процентов. Разницу обязательно проверяют критерием — иначе это не доказательство.

Частые вопросы

Чем таблица сопряжённости отличается от обычной таблицы с данными?

В обычной таблице данных строки — это объекты (по строке на каждого человека), а столбцы — их признаки. В таблице сопряжённости и строки, и столбцы — это категории, а в клетках стоит, сколько объектов попало в обе категории сразу. Это сводка, а не сырые данные.

Сколько строк и столбцов может быть?

Сколько угодно — главное, чтобы признаки были категориальными. 2×2 — самый частый случай (две группы, два исхода). Бывают 3×2, 2×4 и т.д. Чем больше клеток, тем больше нужна выборка, чтобы ожидаемые частоты не падали ниже 5.

Где взять ожидаемые частоты — их тоже считать руками?

Можно по формуле E = (сумма строки × сумма столбца) / N для каждой клетки, но проще ввести наблюдаемые частоты в калькулятор хи-квадрат — он сам посчитает ожидаемые, χ², p и проверит условие E ≥ 5.

Что делать, если в клетке ожидаемая частота меньше 5?

Для таблицы 2×2 берут точный критерий Фишера (он работает и при малых частотах). Для больших таблиц иногда объединяют редкие категории, чтобы клетки «наполнились». Главное — не применять обычный хи-квадрат, если условие нарушено.

Таблица показала связь — можно сказать, что программа сработала?

Связь — да, причинность — осторожно. Хи-квадрат показывает, что признаки идут вместе. Чтобы говорить про эффект программы, нужны корректный план (контрольная группа, рандомизация) и аккуратные формулировки: «связано с», а не «вызвано».

Короткий алгоритм

1. Возьмите два категориальных признака; первый — в строки, второй — в столбцы.
2. Посчитайте наблюдаемые частоты по клеткам и итоги по строкам/столбцам.
3. Для чтения переведите клетки в проценты (по строкам или по столбцам — выберите одно направление).
4. Проверьте связь критерием хи-квадрат в калькуляторе; убедитесь, что ожидаемые частоты ≥ 5.
5. Если связь значима (p < 0,05) — добавьте силу связи через V Крамера и опишите словами.

Что ещё почитать

• Калькулятор хи-квадрат — построить таблицу и сразу получить χ², p и вывод.
• Руководство по критерию хи-квадрат — как работает критерий и когда его применять.
• V Крамера: размер эффекта — оценить силу связи после хи-квадрата.
• Описательная статистика — посчитать доли и проценты по категориям.
• База методов и калькуляторов — выбрать подходящий метод под ваши данные.

Не уверены, какой критерий подходит к вашей таблице, — загляните в базу методов или закажите консультацию.