Стандартное отклонение (σ) — калькулятор онлайн

Что посчитает калькулятор

Значения вводят по одному в строку таблицы, дробные — через запятую (196,5); столбец можно вставить прямо из Excel. Расчёт идёт по кнопке, бесплатно и без регистрации.

• Стандартное отклонение σ — по выборочной формуле, с делением суммы квадратов на n − 1.
• Дисперсию D — тот же разброс, но в квадратных единицах: именно из неё σ и извлекается корнем.
• Среднее M — число, рядом с которым σ и записывают.
• Ошибку среднего m = σ/√n и доверительный интервал — их постоянно путают с σ, хотя это про другое.
• Коэффициент вариации V = σ/M · 100 % — разброс в процентах от среднего, с порогом однородности 33 %.
• Медиану, моду, квартили, размах, асимметрию и эксцесс — на случай, если σ окажется неуместной.
• Проверку нормальности критерием Шапиро-Уилка и вывод, годится ли для ваших данных запись M ± σ.
• Гистограмму распределения и файл Word с таблицей показателей — для третьей главы.

Сигма, СКО и среднеквадратическое отклонение — это одно и то же

Одну и ту же величину в русских учебниках подписывают по-разному, и из-за этого студенты ищут три разных калькулятора там, где нужен один. σ («сигма», греческая буква) — обозначение. «Стандартное отклонение» — современный термин. «Среднеквадратическое отклонение» (иногда «среднеквадратичное») — дословное описание того, как оно считается: корень из среднего квадрата отклонений. «СКО» — та же фраза сокращённо. В спортивных методичках попадается латинское s, в психологических — SD из англоязычных статей. Формула у всех одна, и этот калькулятор закрывает любой из вариантов.

Одно тонкое различие всё же есть, но не в способе счёта: строго говоря, σ — характеристика всей генеральной совокупности, а s — её оценка по выборке. В дипломах пишут σ в обоих случаях, и придирок это не вызывает. Следить надо за другим — за тем, на что поделена сумма квадратов, об этом следующий раздел.

А вот что смешивать нельзя — стандартное отклонение и ошибку среднего m. Это разные числа: σ описывает, насколько отличаются друг от друга участники, а m = σ/√n — насколько точно оценено само среднее. Ошибка среднего всегда меньше σ и уменьшается с ростом выборки, тогда как σ от объёма выборки не зависит вовсе.

n − 1 или n: выборочное отклонение и генеральное

Сумму квадратов отклонений делят либо на n − 1, либо на n, и число получается разное. Правило простое. Если вы обследовали часть людей, а выводы распространяете шире — измерили 20 первокурсников, а пишете о первокурсниках вообще, — это выборка, и делить надо на n − 1. Если измерены все, о ком идёт речь, и никого больше — вся команда, весь класс, все 14 участников эксперимента, — это генеральная совокупность, тогда делят на n. В студенческих работах почти всегда первый случай, поэтому калькулятор считает по n − 1.

Почему поправка вообще нужна. Отклонения считаются не от истинного среднего генеральной совокупности — его никто не знает, — а от среднего вашей выборки. А выборочное среднее подогнано ровно под эти же числа: сумма квадратов отклонений от него минимальна, от любой другой точки она была бы больше. Значит, разброс, посчитанный «в лоб» делением на n, систематически занижен. Деление на n − 1 — поправка Бесселя — это занижение исправляет. Само n − 1 здесь не выдумка: это число степеней свободы, ведь, зная среднее и любые n − 1 значений, последнее восстанавливается однозначно, самостоятельной информации в нём нет.

Насколько велика разница, видно из таблицы. Отношение двух вариантов равно √((n − 1)/n) и от самих данных не зависит вовсе — только от объёма выборки. Отсюда полезный приём: если методичка требует «генеральное» отклонение, а под рукой посчитано выборочное, переводить пересчётом не нужно — достаточно умножить результат на √((n − 1)/n).

Правило трёх сигм: где проходит граница нормы

Если распределение близко к нормальному, σ размечает шкалу и получает наглядный смысл: она говорит, какая доля людей укладывается в тот или иной коридор вокруг среднего. На этом же построен принятый в физическом воспитании сигмальный метод оценки: результат испытуемого переводят в число сигм от группового среднего и по нему присваивают уровень — от низкого (ниже M − 2σ) до высокого (выше M + 2σ).

Почему σ нельзя сравнивать между разными показателями

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сами данные, и это его главное удобство — но и главное ограничение. У прыжка в длину σ будет в сантиметрах, у пробы Штанге — в секундах, у теста тревожности — в баллах. Сказать «разброс по прыжку больше, потому что 10,86 больше, чем 4,32» нельзя: сравниваются несравнимые величины.

Чтобы сопоставить разброс разных показателей или разных групп, переходят к безразмерной величине — коэффициенту вариации V = σ/M · 100 %. Он отвечает уже на другой вопрос: велик ли разброс относительно собственного среднего. Именно V, а не сырую σ, приводят в выводах, когда речь идёт об однородности выборки.

Почему на малой выборке правило трёх сигм ничего не находит

Тонкость, из-за которой студенты зря ищут выбросы. Отдельное значение в принципе не может отстоять от среднего дальше, чем на (n − 1)/√n стандартных отклонений — это следует из самой формулы, а не из свойств данных. При n = 10 предел равен 2,85σ: даже если один участник вписал результат втрое больше остальных, за границу трёх сигм он не выйдет никогда. Правило начинает хоть что-то ловить только с n = 11 (предел 3,02σ), а работать по-настоящему — на сотнях наблюдений.

Практический вывод для диплома с выборкой в 20–30 человек: границей подозрительности берут M ± 2σ, а окончательное решение принимают не по формуле, а по смыслу — проверяют протокол, не перепутана ли единица измерения, не внесён ли результат другого испытуемого. Выбрасывать значение только потому, что оно крайнее, нельзя: так из данных удаляют именно то, ради чего исследование затевалось.

Считаем вручную — на восьми числах

Подтягивания на перекладине у восьми юношей: 12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 21 раз.

Шаг 1. Среднее: (12 + 14 + 15 + 15 + 16 + 18 + 19 + 21) / 8 = 130 / 8 = 16,25 раза.

Шаг 2. Для каждого значения находим отклонение от среднего и возводим его в квадрат — расчёт в таблице ниже. Сумма самих отклонений всегда равна нулю, плюсы и минусы сокращаются, поэтому и нужны квадраты. Сумма квадратов вышла 59,5.

Шаг 3. Дисперсия по выборке: D = 59,5 / (8 − 1) = 8,5. Стандартное отклонение — корень из неё: σ = √8,5 ≈ 2,92 раза. Единицы вернулись к исходным, и число снова читается по-человечески.

Шаг 4. Если бы эти восемь юношей были всей изучаемой группой, делить пришлось бы на 8: 59,5 / 8 = 7,44, σ = 2,73 раза — на 6,5 % меньше. На восьми наблюдениях расхождение уже заметно невооружённым глазом.

Шаг 5. Запись результата: 16,25 ± 2,92 раза. Коэффициент вариации V = 2,92 / 16,25 · 100 ≈ 18 % — ниже порога 33 %, значит, группа по этому показателю однородная.

На этих же числах видно, насколько показатель чувствителен к одному значению: если бы последний юноша подтянулся не 21 раз, а 31, сумма квадратов подскочила бы с 59,5 до 242,0, а σ — с 2,92 до 5,88 раза, то есть выросла вдвое из-за одного человека из восьми. Отклонения входят в формулу в квадрате, поэтому перед расчётом всегда смотрите на минимум и максимум ряда.

Как записать σ в дипломе

Принятая форма — M ± σ, среднее и отклонение через знак «плюс-минус», в одних и тех же единицах. Готовая формулировка выглядит так: «Средний результат в прыжке в длину с места составил 208,70 ± 10,86 см (M ± σ) при объёме выборки 10 человек; коэффициент вариации V = 5,2 % свидетельствует об однородности группы». Калькулятор собирает такую фразу сам, с уже подставленными числами.

Главное правило оформления: подпись к таблице обязана говорить, что именно стоит после знака ±. В том же примере σ равна 10,86 см, а ошибка среднего m — всего 3,44 см; по одному числу читатель никак не поймёт, что вы привели, а разница между ними более чем троекратная. Смешивать M ± σ и M ± m в одной работе нельзя — это первое, к чему придираются на защите.

Округление: σ приводят с тем же числом знаков, что и среднее, обычно с двумя. Запись «208,7 ± 10,8633» выглядит так, будто разброс известен точнее самого результата, — верный признак, что числа скопированы не глядя.

Когда M ± σ вообще не годится. Если распределение заметно скошено, среднее уезжает в сторону хвоста, и интервал M ± σ охватывает значения, которых в данных нет. Тогда в работе приводят медиану с квартилями — Me (Q₁–Q₃), — а группы сравнивают ранговыми критериями. Калькулятор проверяет форму распределения критерием Шапиро-Уилка и прямо говорит, какую из двух записей брать.

Если нужно не посчитать, а разобраться в формуле: откуда берётся квадрат отклонений и чем дисперсия отличается от σ, подробно разобрано в статье журнала «Стандартное отклонение и дисперсия простыми словами», а расчёт одной функцией в таблицах — в статье «Стандартное отклонение в Excel». Здесь же страница отвечает на другой вопрос: посчитать и оформить.

Частые вопросы

Связанные методы