Сигма (σ) — калькулятор онлайн

σ или Σ: какая сигма вам нужна

По запросу «сигма калькулятор» в выдачу попадают две совершенно разные вещи, и половина посетителей приходит не туда. Виновата одна буква в двух начертаниях. Малая сигма σ — обозначение стандартного отклонения, то есть меры разброса: одно число, которое говорит, насколько участники непохожи друг на друга. Большая сигма Σ — знак суммирования из математического анализа: он не считает никакого разброса, а означает «сложи всё, что стоит справа».

Эта страница — про малую σ. Если вам нужна сумма ряда, суммирование по индексу, раскрытие записи вида Σ(i = 1..n) или проверка сходимости — вы ошиблись страницей, и честнее сказать это сразу, чем заставить вводить числа. Такого калькулятора у нас нет: сайт занимается обработкой данных для дипломов, а не символьными вычислениями. Ищите по запросу «калькулятор суммы ряда», а для простой суммы столбца хватит функции СУММ в Excel.

Отличить их в чужом тексте просто по контексту. Если сигма стоит после знака «плюс-минус» (208,7 ± 10,9), рядом со средним, в подписи к таблице или в словах «правило трёх сигм» — это σ, разброс. Если под ней и над ней написаны пределы (i = 1 снизу, n сверху), а справа стоит выражение с индексом — это Σ, сумма. В формуле стандартного отклонения, кстати, встречаются обе сразу: σ считается через Σ квадратов отклонений.

Что посчитает калькулятор

Значения вводят по одному в строку таблицы, дробные — через запятую (196,5); столбец можно вставить прямо из Excel. Расчёт идёт по кнопке, результат скачивается в Word вместе с гистограммой.

• Сигму σ — стандартное отклонение по выборке, с делением суммы квадратов на n − 1.
• Дисперсию D (она же σ²) — тот же разброс в квадратных единицах, из неё σ и извлекается корнем.
• Среднее M — число, рядом с которым сигму и записывают.
• Готовую запись M ± σ с правильным округлением — для таблицы в третьей главе.
• Коэффициент вариации V = σ/M · 100 % — разброс в процентах от среднего, с порогом однородности 33 %.
• Ошибку среднего m = σ/√n и доверительный интервал — величины, которые с сигмой путают чаще всего.
• Медиану, моду, квартили, размах, асимметрию и эксцесс — на случай, если сигма окажется неуместной.
• Проверку нормальности критерием Шапиро-Уилка: она отвечает, работает ли на ваших данных правило трёх сигм.

Почему в одном учебнике σ, а в другом s

Студент открывает две методички и видит разные буквы для одного и того же показателя. Это не опечатка и не разные методы — за буквами стоит различие, которое ввёл Рональд Фишер в 1922 году: греческими буквами обозначают истинные характеристики генеральной совокупности (параметры), латинскими — их оценки, посчитанные по выборке. Строго говоря, σ — это разброс всех людей, о которых идёт речь в работе, а s — то, что вы получили, измерив двадцать человек из них.

Само обозначение появилось в 1894 году: Карл Пирсон предложил термин «стандартное отклонение» вместо громоздких «среднее квадратическое уклонение» и «средняя квадратическая ошибка» Гаусса и закрепил за ним букву σ. Русские названия — среднеквадратическое отклонение, среднеквадратичное отклонение, СКО — это переводы старой формулировки, описывающей способ расчёта: корень из среднего квадрата отклонений. Английское SD — сокращение пирсоновского термина.

Что из этого следует для диплома: ничего страшного. В студенческих работах по педагогике, психологии и спорту пишут σ в обоих случаях, и придирок это не вызывает — важно лишь пояснить обозначение в первой таблице. Настоящее различие прячется не в букве, а в том, на что поделена сумма квадратов: на n − 1 или на n. Именно этот выбор меняет число, и разбор с таблицей расхождений лежит на странице /calc/standartnoe-otklonenie.

Другие «сигмы», с которыми путают статистическую

Слово «сигма» разошлось по десятку областей, и в поиске эти смыслы наслаиваются друг на друга. Часть из них выросла из той самой статистической сигмы и сохранила с ней связь, часть не имеет к разбросу никакого отношения. Если вы искали одно из перечисленного ниже, посмотрите правый столбец таблицы — он говорит, поможет ли вам калькулятор на этой странице.

Отдельно стоит сигмальный метод оценки, принятый в физическом воспитании и врачебном контроле. Это единственный пункт списка, который делается прямо здесь: метод переводит результат испытуемого в число сигм от группового среднего и по нему присваивает уровень. Чтобы им воспользоваться, нужны ровно два числа — M и σ группы, — и оба калькулятор выдаёт сразу.

Шесть сигм: откуда взялись 3,4 дефекта на миллион

Запрос «шесть сигм» приводит сюда людей из совсем другой сферы, но объяснение стоит короткого абзаца — тем более что в дипломах по менеджменту качества и метрологии эта тема встречается. Концепцию предложили в Motorola в 1986 году, а идея в следующем: если разброс параметра изделия таков, что от среднего до ближайшей границы допуска умещается шесть стандартных отклонений, брак становится практически невозможным. Чем меньше σ производственного процесса, тем больше сигм влезает в допуск и тем выше «сигма-уровень».

Знаменитая цифра 3,4 дефекта на миллион получается не из чистой теории. По нормальному закону за пределами шести сигм лежит около 0,002 случая на миллион — в тысячу раз меньше. Разница в том, что в методологии Six Sigma принято закладывать долговременный сдвиг среднего на 1,5σ: реальный станок со временем уходит от настройки, и запас прочности учитывает это заранее. Именно со сдвигом посчитана вся таблица ниже, поэтому её числа не сойдутся с обычными таблицами нормального распределения — и это не ошибка.

К студенческой работе по педагогике или психологии всё это отношения не имеет: там сигма характеризует людей, а не детали, и границ допуска попросту нет. Калькулятор посчитает σ вашего ряда, но сигма-уровень не выдаст — для него нужны верхняя и нижняя границы технического допуска, которых у результатов тестирования не бывает.

Как считается сигма — коротко

Проба Штанге (задержка дыхания на вдохе) у десяти юношей: 45, 48, 50, 52, 54, 55, 58, 60, 63, 65 секунд.

Шаг 1. Среднее: сумма 550 делится на 10, M = 55,0 с.

Шаг 2. От каждого значения отнимаем среднее и возводим разность в квадрат. Квадраты нужны потому, что сами отклонения всегда дают в сумме ноль — плюсы и минусы сокращаются. Сумма квадратов здесь равна 382.

Шаг 3. Делим на n − 1, то есть на 9: дисперсия D = 42,44. Сигма — корень из неё: σ = √42,44 ≈ 6,51 с. Единицы вернулись к исходным, и число снова читается по-человечески: «в среднем участники отклоняются от 55 секунд примерно на шесть с половиной».

Шаг 4. Записываем результат: 55,00 ± 6,51 с. Коэффициент вариации V = 6,51 / 55 · 100 ≈ 11,8 % — заметно ниже порога 33 %, значит, группа по этому показателю однородна.

Почему на 9, а не на 10, зачем нужна поправка Бесселя, что делать, если методичка требует делить на n, и на сколько процентов при этом изменится ответ — всё это подробно, с таблицей расхождений по объёмам выборки, разобрано на соседней странице /calc/standartnoe-otklonenie. Здесь важно другое: обе величины называются сигмой, и перед сдачей стоит убедиться, что вы и научный руководитель имеете в виду одну и ту же.

Где сигма встречается в дипломе

Первое и самое частое — запись M ± σ в таблице характеристик выборки. Это стандартная форма: среднее и отклонение через знак «плюс-минус», в одних и тех же единицах. Обязательное условие — подпись должна прямо говорить, что стоит после знака: σ или ошибка среднего m. В нашем примере σ = 6,51 с, а m = σ/√n = 2,06 с; по одному числу читатель не догадается, что вы привели, а отличаются они втрое. Смешивать M ± σ и M ± m в одной работе нельзя.

Второе — правило трёх сигм. Если распределение близко к нормальному, сигма размечает шкалу: в интервал M ± σ попадает около 68 % значений, в M ± 2σ — 95 %, в M ± 3σ — 99,7 %. На нём же основан поиск выбросов: значение за пределами M ± 3σ почти наверняка ошибка протокола. Оговорка, о которой забывают: на выборке из десяти человек за три сигмы не выйдет вообще ни одно значение, как бы оно ни выделялось, — это следует из самой формулы. Разбор границ и работа с выбросами — на странице /calc/standartnoe-otklonenie.

Третье — сигмальные шкалы. В спортивной метрике, психодиагностике и врачебном контроле сырой результат переводят в число сигм от среднего, и только потом сравнивают между собой показатели в разных единицах. Базовая величина одна — z-оценка z = (x − M)/σ, то есть «на сколько сигм участник отличается от группы»; все остальные шкалы получаются из неё умножением и сдвигом, чтобы избавиться от неудобных отрицательных чисел.

Продолжим пример с пробой Штанге: M = 55,0 с, σ = 6,51 с. Участник с результатом 66 секунд получает z = (66 − 55) / 6,51 = 1,69 сигмы, то есть 66,9 балла по Т-шкале. Границы сигмального метода при этих M и σ такие: ниже 41,97 с — низкий уровень, 41,97–48,49 — ниже среднего, 48,49–61,51 — средний, 61,51–68,03 — выше среднего, свыше 68,03 — высокий. Наш участник попадает в предпоследнюю зону: «выше среднего», а не «высокий», хотя по сырому результату он второй в группе.

Как набрать знак σ в Word и Excel

Мелочь, на которой теряют время перед сдачей. В Word проще всего набрать код и нажать Alt+X: 03C3 превращается в σ, 03A3 — в Σ. Работает и обратно: поставьте курсор сразу за символом, нажмите Alt+X и увидите его код — так проверяют, что в таблицу не затесалась похожая латинская буква. Второй путь — «Вставка» → «Символ» → «Другие символы», набор «Греческий и коптский».

Чего делать не стоит: подставлять вместо σ латинскую o, цифру 6 или букву «б», а также набирать формулы шрифтом Symbol. При конвертации в PDF или при открытии на другом компьютере такие подмены разъезжаются, и в напечатанном дипломе вместо сигмы появляется случайный символ. Если в работе есть формулы, набирайте их редактором формул целиком, а не смесью текста и картинок.

В Excel греческой буквы в названиях функций нет вовсе: выборочная сигма считается функцией СТАНДОТКЛОН.В (деление на n − 1), генеральная — СТАНДОТКЛОН.Г (деление на n). Старое название СТАНДОТКЛОН без уточнения соответствует первой. А кнопка с большой Σ на панели инструментов — это автосумма, то есть ровно та вторая сигма, о которой шла речь в начале страницы: она складывает столбец и никакого разброса не считает.

Частые вопросы

Связанные методы