Дисперсия (D) — калькулятор онлайн
Дисперсия (D, её же обозначают σ²) — мера разброса: она показывает, насколько сильно значения ряда отклоняются от собственного среднего. Чем дисперсия больше, тем разнороднее группа; ноль означает, что все значения одинаковы. Введите числа в таблицу — калькулятор посчитает дисперсию, извлечёт из неё стандартное отклонение σ и покажет остальные показатели ряда с готовой записью для диплома. Сразу развилка: если вам нужно сравнить средние в трёх и более группах, это другой метод — дисперсионный анализ (страница /calc/dispersionnyy-analiz-anova).
Строка — одно наблюдениеРезультат одного участника или одного замера: рост, балл теста, время в секундах. Число строк задаётся счётчиком «Наблюдений», сверху ограничения нет: 15 значений или 300 — считается одинаково. Данные можно вставить столбцом прямо из Excel.
Столбец — один показательОдна шкала: сантиметры, секунды, баллы. Название столбца попадёт в вывод, в готовую формулировку и в таблицу для диплома — назовите его так, как он называется в работе. Смешивать в одном столбце разные шкалы нельзя: среднее по ним ничего не значит.
Таблица заполнена примером
Чтобы вы посмотрели, как работает калькулятор. Это индекс массы тела (индекс Кетле) у 18 студенток первого курса, кг/м². Несколько человек с избыточной массой вытягивают правый хвост, поэтому распределение скошено — и калькулятор посоветует описывать группу медианой, а не средним. Дробные значения пишутся через запятую: 19,7 — не 19.7.
| № \ показатель | |
|---|---|
Названия можно переписать — они попадут в результат и в таблицу для диплома. Если столбцов много, таблица прокручивается вбок. Данные из Excel вставляются целиком: скопируйте диапазон и вставьте в первую ячейку.
Здесь нет кнопок 0,05 и 0,01 — и это не ошибка. Описательная статистика ничего не проверяет: нулевой гипотезы нет, критического значения нет, значимости взяться неоткуда. Осмысленный вопрос другой: вы описали свою группу — а насколько эти числа переносятся на всех таких людей? На это отвечает доверительная вероятность: она задаёт ширину доверительного интервала среднего и интервала коэффициента вариации. Ею же задаётся строгость встроенной проверки нормальности: α = 1 − уровень доверия, то есть при 95 % нормальность проверяется на привычном уровне 0,05. Уровень значимости появится на следующем шаге — когда вы начнёте сравнивать группы. Подробнее: что такое доверительный интервал и ось значимости.
Ничего не понятно или не хотите разбираться?
Закажите расчёт у эксперта: он опишет выборку, проверит распределение, подберёт критерий под вашу тему и оформит таблицы по ГОСТ. Останется вставить в работу.
Заказать расчёт у экспертаДисперсия или дисперсионный анализ — вы на нужной странице?
Из-за общего корня в названии сюда попадают с двумя разными задачами, и половине посетителей нужна соседняя страница. Дисперсия — это ОДНО ЧИСЛО, описывающее разброс одного ряда значений: посчитали и вписали в таблицу выборки. Дисперсионный анализ (ANOVA) — это ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ: три и более группы, вопрос «различаются ли их средние», на выходе F, степени свободы и p-уровень.
Связь между ними всё-таки есть, и именно она породила путаницу: дисперсионный анализ раскладывает общий разброс на две части — межгрупповую (различия между группами) и внутригрупповую (различия внутри каждой группы) — и сравнивает их между собой. То есть ANOVA сравнивает средние ЧЕРЕЗ дисперсии, поэтому и называется дисперсионным. Но вводить туда надо несколько столбцов данных, а не один, и ответом будет p-уровень, а не мера разброса.
Куда идти с вашей задачей
| Что нужно сделать | Метод | Страница |
|---|---|---|
| Описать разброс одного ряда чисел | дисперсия D и стандартное отклонение σ | эта страница |
| Сравнить средние в трёх и более группах | однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) | /calc/dispersionnyy-analiz-anova |
| Проверить, одинаков ли разброс в двух и более группах | тест Левена (или критерий Бартлетта) | /calc/test-levena |
| Оценить однородность группы в процентах | коэффициент вариации V | /calc/koefficient-variacii |
| Получить разброс в тех же единицах, что и данные | стандартное отклонение σ | /calc/standartnoe-otklonenie |
Признак, по которому легко отличить задачи: если у вас один столбец чисел — вам сюда, если несколько столбцов и вопрос о различиях — в дисперсионный анализ.
Как считается дисперсия — на пяти числах
Возьмём результаты подтягиваний у пяти студентов: 8, 10, 12, 14, 16.
Шаг 1. Среднее: (8 + 10 + 12 + 14 + 16) / 5 = 12.
Шаг 2. Отклонения каждого значения от среднего: −4, −2, 0, +2, +4.
Шаг 3. Каждое отклонение возводим в квадрат: 16, 4, 0, 4, 16. Их сумма — 40, это так называемая сумма квадратов отклонений.
Шаг 4. Делим на число значений минус один: D = 40 / (5 − 1) = 10.
Шаг 5. Извлекаем корень и получаем стандартное отклонение: σ = √10 ≈ 3,16.
Про делитель. На n − 1 делят, когда данные — выборка, то есть часть большой совокупности (обычный случай диплома: обследовали 25 человек, а выводы делают о студентах вообще). На n делят, только если ряд исчерпывает всю изучаемую совокупность целиком — например, все 12 участников одной команды и никого больше. На малых выборках разница заметна: на наших пяти числах получилось бы 40 / 5 = 8 вместо 10, то есть на 20 % меньше. Калькулятор считает выборочную дисперсию, с делением на n − 1, — так же, как SPSS, Excel (функция ДИСП.В) и большинство методичек по психологии и спорту.
Почему отклонения возводят в квадрат
Логичнее всего было бы взять средний размер отклонения от среднего — и именно это сделать нельзя. Посмотрите на шаг 2 примера: −4, −2, 0, +2, +4. В сумме ровно ноль. Это не совпадение конкретных чисел, а свойство среднего арифметического: оно и есть та точка, относительно которой перевес вниз в точности равен перевесу вверх. Отклонения взаимно уничтожаются на любом ряде — и у сплочённой группы, и у разнородной, — поэтому «среднее отклонение» всегда равно нулю и разброс не измеряет вовсе.
Знак нужно убрать. Есть два способа: взять модули (так получается среднее линейное отклонение — показатель существует, но встречается редко) или возвести в квадрат. Победили квадраты, и на защите за это иногда спрашивают, поэтому вот три причины.
Первая: квадрат сильнее наказывает крупные промахи. Отклонение в 10 единиц весит не в пять раз больше отклонения в 2 единицы, а в двадцать пять (100 против 4). Разнородность группы создают как раз выбивающиеся значения, и правильно, что мера разброса на них реагирует резко.
Вторая, главная: дисперсии складываются. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий — у модулей такого свойства нет. Именно на нём держится разложение общего разброса на межгрупповой и внутригрупповой, то есть весь дисперсионный анализ, а заодно формула ошибки среднего m = σ/√n. Без квадратов эта арифметика не работает.
Третья: с квадратичной функцией удобно обращаться в формулах — она гладкая, среднее выводится из неё как точка минимума суммы квадратов. Вся теория нормального распределения, метод наименьших квадратов и регрессия записаны через σ², а не через модули.
Плата за все эти удобства одна, и она заметна каждому студенту, — единицы измерения. О ней следующий раздел.
Дисперсия и σ: почему в дипломе пишут не D
Раз отклонения возводили в квадрат, то и результат получился в квадратах исходных единиц. Возьмём прыжок в длину с места у пяти человек: 200, 210, 215, 220, 235 см. Среднее 216 см, сумма квадратов отклонений 670, дисперсия D = 670 / 4 = 167,5. Но 167,5 — чего? Квадратных сантиметров. Величина «167,5 см²» о прыжке не говорит ничего: представить её нельзя, сопоставить с результатами — тоже.
Поэтому из дисперсии извлекают корень и получают стандартное отклонение: σ = √167,5 ≈ 12,94 см. Вот это число читается сразу: типичное отклонение от среднего — около 13 см, и в работу идёт запись M ± σ = 216,00 ± 12,94 см. Связь между показателями прямая и в обе стороны: σ = √D, D = σ². Это одна и та же информация в двух видах, поэтому приводить в таблице оба числа не нужно — берут σ.
Отсюда простое правило: дисперсию считают, но в текст работы обычно выносят σ. Дисперсия остаётся внутри формул — там квадраты как раз и нужны: в таблице дисперсионного анализа, в тесте Левена и критерии Бартлетта, в расчёте ошибки среднего. Исключение — экономические и технические работы, где D требуют явно по методичке кафедры; тогда её пишут вместе с единицами в квадрате и рядом дают σ.
Второе следствие: дисперсии двух показателей нельзя сравнивать «на глаз» так же, как σ. Квадрат растягивает шкалу. Две группы с одинаковым средним 50 баллов: в первой значения 48, 49, 50, 51, 52, во второй — 40, 45, 50, 55, 60. Дисперсии 2,5 и 62,5 — разница в 25 раз, и цифра пугает. Стандартные отклонения 1,58 и 7,91 — разница в 5 раз, и это честная картина разброса в баллах. Вывод про «в 25 раз разнороднее» будет ошибкой трактовки.
Дисперсия и стандартное отклонение — в чём разница
| Дисперсия (D, σ²) | Стандартное отклонение (σ) | |
|---|---|---|
| Что показывает | средний квадрат отклонения от среднего | типичное отклонение от среднего |
| Единицы измерения | квадраты исходных единиц: см², баллы², с² | те же единицы, что у данных: см, баллы, с |
| Пример (прыжок в длину) | 167,5 см² | 12,94 см |
| Где используется | внутри формул: ANOVA, тесты Левена и Бартлетта, ошибка среднего | в тексте и таблицах работы, в записи M ± σ |
| Что идёт в диплом | обычно не приводят (кроме экономических работ) | M ± σ = 216,00 ± 12,94 см |
σ = √D, D = σ² — это одно и то же, пересчитанное туда и обратно. Приводить в таблице оба числа незачем.
Когда дисперсию считают отдельно
- Сравнить стабильность при равных средних. Два спортсмена с одинаковым средним результатом — не одно и то же, если у одного разброс 1,58, а у другого 7,91: второй выступает нестабильно. Средние этого не покажут, дисперсия покажет.
- Проверить условие перед основным критерием. Критерий Стьюдента для независимых выборок и дисперсионный анализ требуют примерно равного разброса в группах. Проверяют это тестом Левена (/calc/test-levena) или критерием Бартлетта (/calc/kriteriy-bartletta), а не сравнением дисперсий на глаз.
- Оценить однородность выборки. Здесь берут не саму D, а коэффициент вариации V = σ/M · 100 % (/calc/koefficient-variacii): он безразмерный, поэтому сантиметры и секунды становятся сопоставимыми. Порог однородности — 33 %.
- Оценить эффект по доле объяснённого разброса. Показатели η² в дисперсионном анализе и R² в регрессии отвечают на вопрос «какую часть общей дисперсии объясняет фактор» — это те же дисперсии, только в отношении друг к другу.
- Описать выборку в начале практической части. Тут дисперсию считают ради σ: её и вписывают в сводную таблицу рядом со средним.
Как оформить результат в работе
Готовая формулировка появляется под расчётом с подставленными числами — её остаётся скопировать и заменить название показателя на своё: «Результат в прыжке в длину с места в выборке из 5 человек составил M ± σ = 216,00 ± 12,94 см (дисперсия D = 167,50 см²); значения варьируют от 200 до 235 см».
Обратите внимание на порядок: сначала среднее с σ, дисперсия — в скобках и только если её требует методичка. Если в таблице выборки колонка одна, в неё ставят σ, а в подписи к таблице прямо пишут, что именно стоит после знака «плюс-минус»: σ описывает разброс участников, а ошибка среднего m = σ/√n — точность, с которой оценено само среднее. Числа после «±» у них отличаются в разы, и смешивать обозначения в одной работе нельзя — это первое, к чему придираются на защите.
Если разброс сравнивается между группами, дисперсию в тексте не сопоставляют — пишут σ по каждой группе и добавляют результат теста Левена: «разброс результатов в группах однороден (тест Левена: p = 0,412), что позволило применить параметрический критерий». Такая фраза снимает вопрос об условиях метода заранее.
Округление: σ приводят с тем же числом знаков после запятой, что и среднее, плюс один при необходимости. Писать «216,0 ± 12,94382» не нужно — лишние знаки создают видимость точности, которой у выборки из пяти человек нет.