Критерий согласия χ² — онлайн-калькулятор
Критерий согласия χ² проверяет одно-единственное распределение: похоже ли то, что получилось у вас, на то, что должно было получиться. Ответы разложились по вариантам поровну — или какой-то вариант выбирают заметно чаще? Уровни показателя распределились как в норме методики — или группа заметно сдвинута? Состав выборки повторяет состав факультета — или юноши в ней перепредставлены? Впишите наблюдаемые частоты и ожидаемые доли, и калькулятор посчитает χ², число степеней свободы, критическое значение, p-уровень и точную вероятность, а заодно напишет готовую фразу для диплома.
На сайте два критерия χ². Этот сравнивает одно распределение с ожидаемым
Вам сюда: критерий согласия
Ряд частот ОДИН, а с чем сравнивать — известно заранее: «все варианты ответа выбирают одинаково часто», «доли уровней должны быть как в норме методики», «состав выборки должен повторять состав факультета». Строка — категория, ожидание задаётся вами.
Вам не сюда: критерий независимости
Если групп ДВЕ и больше и вы сравниваете их между собой («контрольная против экспериментальной», «юноши против девушек»), нужен χ² по таблице сопряжённости: там ожидаемые частоты вычисляются из самих данных, а не задаются. Баллы и измерения — это критерий Стьюдента, а нормальность одного ряда чисел — Колмогорова-Смирнова.
Впишите ожидаемые доли во втором столбце — процентами (15,9), долями (0,159) или просто отношением (9 3 3 1). Калькулятор приведёт их к сумме 100 % сам: важны пропорции, а не единицы.
Строка — категория, а не человекКатегории — это то, на что делится ваш признак: уровни (низкий / средний / высокий), варианты ответа, курсы, типы темперамента. Строк столько, сколько категорий, а не сколько участников. Названия перепишите под свою работу: они попадут и в результат, и в таблицу для диплома.
Слева частоты, справа ожиданиеПервый столбец — сколько человек попало в категорию (целые числа). Второй — ожидаемая доля: процент нормы, теоретическая доля или просто части отношения. Числа во втором столбце могут быть дробными — разделитель запятая.
Таблица заполнена примером
Чтобы вы посмотрели, как работает калькулятор. Это распределение 60 студентов по уровню фактора O (тревожность) в 16-факторном опроснике Кеттелла. Ожидаемые доли не выдуманы: шкала стенов построена на нормальном распределении, и на низкий уровень (1–3 стена) в норме приходится 15,9 %, на средний (4–7) — 68,2 %, на высокий (8–10) — снова 15,9 %.
| Категория | ||
|---|---|---|
Названия можно переписать — они попадут в результат и в таблицу для диплома. Если столбцов много, таблица прокручивается вбок. Данные из Excel вставляются целиком: скопируйте диапазон и вставьте в первую ячейку.
Уровень значимости — это допустимая вероятность ошибиться, признав расхождение с ожидаемым распределением там, где его на самом деле нет. При α = 0,05 такая ошибка допускается не чаще чем в пяти случаях из ста. Для педагогических и психологических исследований этого почти всегда достаточно. От выбранного уровня зависит критическое значение: при df = 2 это 5,991 для 0,05 и уже 9,210 для 0,01. Выбирают уровень до расчёта, а не подгоняют под результат — это грубая ошибка, которую замечают на защите. Подробнее: что такое p-значение и ось значимости.
Обычно здесь 0: ожидаемое распределение известно заранее — из нормы методики, из теории, из состава генеральной совокупности. Но если вы сами вычислили параметры ожидаемого закона по этим же данным (среднее и σ для нормального распределения — это 2, λ для пуассоновского — 1), каждый такой параметр отнимает ещё одну степень свободы. Забыть про эту поправку — классическая ошибка: p выходит завышенным, и заведомо плохая модель «проходит» проверку.
Ничего не понятно или не хотите разбираться?
Закажите расчёт у эксперта: он определит, с каким распределением сравнивать ваши данные, посчитает и напишет готовый вывод. Останется вставить в работу.
Заказать расчёт у экспертаЧем этот χ² отличается от того, что уже есть на сайте
На StatBlank два калькулятора с одним и тем же названием «хи-квадрат», и путают их постоянно. Разница не в формуле — она одна и та же, — а в том, ОТКУДА берутся ожидаемые частоты.
Критерий НЕЗАВИСИМОСТИ (страница /calc/hi-kvadrat) работает с таблицей сопряжённости: есть два признака и минимум две группы, а ожидаемые частоты вычисляются из самих данных по формуле «итог строки × итог столбца / n». Он отвечает на вопрос «связаны ли признаки», то есть «различаются ли группы между собой». Степени свободы там равны (r − 1)(c − 1).
Критерий СОГЛАСИЯ (эта страница) работает с одним рядом частот. Группа одна, а ожидание берётся ИЗВНЕ: из теории, из нормы методики, из состава генеральной совокупности или из простого предположения «все категории одинаково часты». Он отвечает на вопрос «соответствует ли моё распределение эталонному». Степени свободы равны k − 1, где k — число категорий.
Практическое правило: если у вас в таблице две и больше СТРОК-групп, которые вы сравниваете между собой, вам на страницу критерия независимости. Если группа одна, а второй столбец — это не другая группа, а ожидание, вам сюда.
Два критерия χ²: чем различаются
| Критерий согласия (эта страница) | Критерий независимости (/calc/hi-kvadrat) | |
|---|---|---|
| Сколько групп | Одна | Две и более |
| Что на входе | Ряд частот по категориям + ожидание | Таблица сопряжённости |
| Откуда ожидаемые частоты | Задаются вами извне | Вычисляются из самой таблицы |
| Степени свободы | k − 1 (минус оценённые параметры) | (r − 1) × (c − 1) |
| Типичный вопрос | «Соответствует ли распределение норме?» | «Различаются ли группы?» |
Формула критерия в обоих случаях одна: сумма (наблюдалось − ожидалось)² / ожидалось. Различается только способ получить ожидаемые частоты и число степеней свободы.
Когда применять критерий согласия
Метод нужен там, где есть категории, их частоты и понятное представление о том, какими эти частоты должны быть:
- Проверить, равномерно ли распределились ответы: «все пять вариантов выбирают одинаково часто» — или какой-то заметно чаще.
- Сравнить распределение уровней с нормой методики: по стенам на низкий уровень в норме приходится 15,9 %, на средний 68,2 %, на высокий 15,9 %.
- Показать репрезентативность выборки: состав опрошенных по полу, курсу, возрасту сравнивают с составом генеральной совокупности.
- Проверить теоретическое соотношение: расщепление признаков 9:3:3:1, ожидаемое соотношение 1:2:1, доля брака 5 %.
- Проверить согласие с законом распределения: нормальным, равномерным, пуассоновским — тогда включается поправка на оценённые параметры.
- Важно: если групп две и больше и вы сравниваете их между собой — это критерий независимости, страница /calc/hi-kvadrat. Если данные не частоты, а баллы и измерения — критерий Стьюдента или Манна-Уитни.
Три способа задать ожидаемое распределение
Равные доли. Самый частый случай в анкетах: предполагается, что все категории встречаются одинаково часто, и ожидаемая частота у каждой равна n / k. Ничего вписывать не нужно — калькулятор посчитает сам. Так проверяют, есть ли у респондентов выраженное предпочтение.
Заданные доли. Ожидание известно в процентах или в виде пропорции: норма методики, теоретическое соотношение, доли генеральной совокупности. Вписывать можно как угодно — 15,9 / 68,2 / 15,9 в процентах, 0,159 / 0,682 / 0,159 в долях или просто 9 3 3 1 отношением. Калькулятор приводит числа к сумме 100 % сам: важны пропорции, а не единицы измерения.
Заданные частоты. Ожидание известно числом наблюдений: на факультете 320 первокурсников, 300 второкурсников и так далее. Пересчитывать их в проценты вручную не нужно — калькулятор приведёт их к долям и умножит на объём ВАШЕЙ выборки. Сумма ожидаемых частот всегда становится равна сумме наблюдаемых, и это встроенная проверка расчёта: если в вашей методичке эти суммы не сошлись, ожидание посчитано неверно.
Как понять результат
Главное число — p-уровень. Если p < 0,05, наблюдаемое распределение значимо отличается от ожидаемого: расхождение нельзя списать на случайность. Если p > 0,05, распределение согласуется с ожидаемым — и это тоже полноценный результат, его так и описывают.
Эмпирическое χ² сравнивают с критическим по таблице. Правило прямое: расхождение значимо, когда эмпирическое значение БОЛЬШЕ критического. У критериев Манна-Уитни и Вилкоксона правило перевёрнутое, и на этом чаще всего сбиваются.
Сам χ² растёт вместе с объёмом выборки: на тысяче человек значимым становится почти любое отклонение, даже содержательно ничтожное. Поэтому рядом приводят размер эффекта w = √(χ² / n) — он от объёма не зависит. Полезно смотреть и на столбец «вклад в χ²»: он показывает, какая именно категория «делает» результат, и именно про неё пишут в выводе.
На небольших выборках калькулятор дополнительно перебирает все возможные расклады наблюдений по категориям и показывает точный p. Если точное и приближённое значения расходятся заметно, в работу берут точное: χ² — это приближение, и на малых частотах оно завышает значимость.
Размер эффекта w (шкала Коэна)
| Значение w | Как трактовать |
|---|---|
| меньше 0,1 | эффект пренебрежимо мал |
| 0,1 — 0,3 | слабый эффект |
| 0,3 — 0,5 | средний эффект |
| 0,5 и больше | сильный эффект |
w = √(χ² / n). В отличие от самого χ², размер эффекта не зависит от объёма выборки, поэтому в дипломе его приводят рядом с p-уровнем.
Степени свободы и поправка на оценённые параметры
Для критерия согласия df = k − 1, где k — число категорий. Единицу вычитают потому, что последняя частота не свободна: она однозначно определяется остальными и объёмом выборки. Пять категорий дают df = 4, три категории — df = 2.
Но если параметры ожидаемого распределения вы вычислили по этой же выборке, каждый из них отнимает ещё одну степень свободы: df = k − 1 − m. Проверяете согласие с нормальным законом и взяли среднее и σ из своих данных — m = 2. С пуассоновским и взяли λ из данных — m = 1. Проверяете соответствие норме методики или составу совокупности — m = 0, потому что ожидание задано заранее и ваших данных не видело.
Забыть про эту поправку — классическая ошибка. Степеней свободы получается больше, критическое значение выше, p завышается, и заведомо плохая модель «проходит» проверку. В калькуляторе для этого есть отдельное поле, а под таблицей результата всегда видно, из чего сложилось df.
Критические значения χ² по числу степеней свободы ▾
| df | α = 0,05 | α = 0,01 | α = 0,001 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3,841 | 6,635 | 10,828 |
| 2 | 5,991 | 9,210 | 13,816 |
| 3 | 7,815 | 11,345 | 16,266 |
| 4 | 9,488 | 13,277 | 18,467 |
| 5 | 11,070 | 15,086 | 20,515 |
| 6 | 12,592 | 16,812 | 22,458 |
| 7 | 14,067 | 18,475 | 24,322 |
| 8 | 15,507 | 20,090 | 26,124 |
| 9 | 16,919 | 21,666 | 27,877 |
| 10 | 18,307 | 23,209 | 29,588 |
Расхождение значимо, когда эмпирическое χ² больше критического. Калькулятор считает эти значения сам под выбранный уровень значимости, таблица нужна для проверки вручную.
Условие применимости: ожидаемые частоты не должны быть малы
Классическое требование — все ожидаемые частоты не меньше 5. Смягчение Кокрана допускает до 20 % категорий с ожидаемой частотой меньше 5 при условии, что все они не ниже 1. Наблюдаемая частота при этом может быть любой, хоть нулевой: ограничение касается именно ожидаемых.
Если условие нарушено, есть три выхода. Первый — объединить редкие категории («низкий» и «ниже среднего» в одну), это самый частый и самый честный путь. Второй — набрать больше наблюдений. Третий — опереться на точный расчёт: калькулятор перебирает все возможные расклады и даёт вероятность напрямую, а она верна при любых частотах. Для двух категорий тот же результат даёт биномиальный критерий.
Как оформить результат в дипломе
В работе приводят: объём выборки, число категорий, откуда взято ожидаемое распределение, эмпирическое и критическое χ², число степеней свободы, уровень значимости и p, а также размер эффекта. Откуда взято ожидание — первое, что спрашивают на защите, поэтому эту фразу пишут явно.
Готовая формулировка: «Для проверки соответствия эмпирического распределения ожидаемому применён критерий согласия χ² Пирсона (k = 3 категории, n = 60). Ожидаемые доли заданы нормой методики (15,9 / 68,2 / 15,9 %) и пересчитаны в частоты по объёму выборки. Наибольшее расхождение получено по категории «Высокий уровень»: наблюдалось 16 чел. (26,7 %) при ожидаемых 9,5 чел. (15,9 %). Расхождение статистически значимо: χ²эмп = 6,63 при χ²кр = 5,99 (df = 2, α = 0,05), p = 0,036; размер эффекта w = 0,33 — средний. Гипотеза о соответствии наблюдаемого распределения нормативному отклоняется».
Рисунок к этому абзацу — столбчатая диаграмма «наблюдалось против ожидалось» в процентах. Проценты, а не «сколько человек»: так рисунок читается сам и сопоставим с данными других работ. Калькулятор выгружает таблицу и диаграмму в файл Word, где всё редактируется под требования кафедры.
Частые вопросы
Связанные методы
Критерий χ² (хи-квадрат)
Связь категорий и сравнение долей по таблице частот.
Критерий Колмогорова-Смирнова
Проверка нормальности одного ряда чисел (для больших выборок).
Биномиальный критерий
Отличается ли доля от ожидаемой — точный расчёт даже на малой выборке.
Критерий тренда
Растёт ли доля признака с ростом упорядоченного фактора: стажа, курса, дозы.