Гамма Гудмена-Крускала и d Сомерса — калькулятор
Гамма Гудмена-Крускала и d Сомерса — меры связи двух порядковых признаков: тех, что заданы уровнями («низкий / средний / высокий», «удовлетворительно / хорошо / отлично»), а не числами. Корреляция Спирмена на таких данных смещается к нулю: совпадающих рангов слишком много. Эти меры устроены иначе — они перебирают пары участников и считают, у скольких пар порядок по обоим признакам совпал. Заполните таблицу уровней: калькулятор посчитает гамму, d Сомерса, тау-b и тау-c с интервалами, проверит значимость и соберёт формулировку для диплома.
Эти меры нужны, когда оба признака заданы уровнями, а не числами
Вам сюда
«Низкий / средний / высокий уровень тревожности» против «удовлетворительно / хорошо / отлично». «Стаж до 3 лет / 3–10 / больше 10» против «доволен / скорее доволен / не доволен». Уровней немного, людей много, одинаковых сочетаний десятки — Спирмен на таких данных занижает связь, а гамма и d Сомерса считают честно.
Вам не сюда
Если у каждого участника свои БАЛЛЫ по обеим методикам (46 баллов тревожности и средний балл 4,3), нужна корреляция Спирмена или Кендалла. Если признаки неупорядоченные («тип темперамента», «факультет»), порядка нет и меры этой страницы неприменимы — там критерий χ² и V Крамера.
Порядок уровней важен. Строки и столбцы должны идти по возрастанию: от низкого уровня к высокому, от «удовлетворительно» к «отлично». Именно этот порядок и задаёт, что считать согласованной парой; переставьте уровни задом наперёд — знак связи изменится на противоположный, и вывод получится обратным.
Строка и столбец — уровни, а не людиСтрок столько, сколько уровней у первого признака, столбцов — сколько у второго. Один человек попадает ровно в одну клетку. Названия уровней перепишите под свою работу: они попадут и в результат, и в таблицу для диплома.
В клетках — только целые частотыСколько ЧЕЛОВЕК с таким сочетанием уровней: 3, 8, 4. Не проценты, не средние баллы и не доли. Если сочетание не встретилось ни разу, впишите 0 — пустых клеток в таблице частот не бывает. Проверьте, что сумма всех клеток равна числу участников исследования.
Таблица заполнена примером
Чтобы вы посмотрели, как работает калькулятор. Это 60 студентов: по строкам — уровень личностной тревожности по шкале тревожности Спилбергера-Ханина (границы норм — до 30, 31–44, 45 и выше), по столбцам — итоговая успеваемость за семестр. В клетках число человек, а не баллы.
| Строки \ Столбцы | |||
|---|---|---|---|
Названия можно переписать — они попадут в результат и в таблицу для диплома. Если столбцов много, таблица прокручивается вбок. Данные из Excel вставляются целиком: скопируйте диапазон и вставьте в первую ячейку.
Уровень значимости — это допустимая вероятность ошибиться, признав связь там, где её на самом деле нет. При α = 0,05 такая ошибка допускается не чаще чем в пяти случаях из ста. Для педагогических и психологических исследований этого почти всегда достаточно. Таблицы критических значений у гаммы нет — искать её не нужно. Кнопки здесь работают иначе: от выбранного уровня зависит порог для z (1,96 при 0,05; 2,58 при 0,01; 3,29 при 0,001) и ширина доверительных интервалов для всех мер связи. Выбирают уровень до расчёта, а не подгоняют под результат — это грубая ошибка, которую замечают на защите. Подробнее: что такое p-значение и ось значимости.
Ничего не понятно или не хотите разбираться?
Закажите расчёт у эксперта: он сведёт ваши данные в таблицу уровней, подберёт меру связи под тему, посчитает и напишет готовый вывод. Останется вставить в работу.
Заказать расчёт у экспертаКогда применять гамму и d Сомерса
Они нужны, когда оба показателя измерены в порядковой шкале и сведены в уровни, а участников заметно больше, чем сочетаний уровней. Примеры из дипломов:
- Связан ли уровень тревожности (низкий / умеренный / высокий) с успеваемостью (удовлетворительно / хорошо / отлично).
- Зависит ли степень удовлетворённости работой от стажа, разбитого на группы (до 3 лет / 3–10 / больше 10).
- Растёт ли уровень физической подготовленности с ростом уровня мотивации к занятиям.
- Связана ли самооценка (заниженная / адекватная / завышенная) с уровнем притязаний.
- Если у каждого участника есть СВОИ баллы по обеим методикам, а не уровень, берите корреляцию Спирмена: там ранги почти не совпадают, и её смещение несущественно.
- Если хотя бы один признак неупорядоченный (тип темперамента, факультет, вид спорта), порядка нет и эти меры неприменимы — нужен критерий χ² и V Крамера.
Чем это отличается от Спирмена и Кендалла и когда какую брать
Все эти показатели измеряют одно и то же — согласованность порядка двух признаков — и все меняются от −1 до +1. Разница в том, что они делают с совпадениями (связками), а связок в порядковых шкалах всегда много.
Ро Спирмена — это корреляция Пирсона, посчитанная по рангам. Когда у половины выборки один и тот же ранг, ранги «слипаются» в средние значения, разброс рангов падает, и коэффициент занижается. На таблице из трёх уровней против трёх Спирмен систематически показывает связь слабее, чем она есть.
Тау Кендалла со страницы корреляции считается по двум рядам чисел: строка — участник с двумя показателями. Если ваши данные это уровни, тау посчитать можно, но вводить сто строк вместо таблицы 3×3 неудобно и легко ошибиться. Здесь тот же тау-b считается прямо по таблице сопряжённости, а рядом стоят гамма и d Сомерса, которых на той странице нет.
Практическое правило: показатели заданы БАЛЛАМИ — Спирмен или Кендалл; показатели заданы УРОВНЯМИ и сведены в таблицу — гамма и d Сомерса. Если хочется перестраховаться, посчитайте оба варианта: в дипломе достаточно привести один, а совпадение выводов — хороший аргумент на защите.
Какую меру связи брать
| Что у вас в данных | Какая мера | Почему |
|---|---|---|
| Баллы по двум методикам, распределение ненормальное | Корреляция Спирмена | Ранги почти не совпадают, смещения нет |
| Баллы, но выборка меньше 15 человек | Корреляция Кендалла (τ) | На малых выборках устойчивее Спирмена |
| Уровни у обоих признаков, таблица сопряжённости | Гамма и d Сомерса | Связки выбрасываются из знаменателя, занижения нет |
| Уровни, и один признак объясняет другой | d Сомерса (несимметричный) | Отвечает на вопрос «насколько X предсказывает Y» |
| Уровней у признаков разное количество | Тау-c Кендалла | Поправка на прямоугольность таблицы |
| Хотя бы один признак неупорядоченный | χ² и V Крамера | Без порядка «согласованной пары» не существует |
Порядок уровней в таблице — часть данных: строки и столбцы должны идти по возрастанию. Переставьте их задом наперёд, и знак связи изменится на противоположный.
Что значит «несимметричная мера» простыми словами
Гамма отвечает на вопрос «связаны ли признаки». Вопрос симметричный: связь тревожности с успеваемостью — это та же связь, что успеваемости с тревожностью, и число получается одно.
d Сомерса отвечает на другой вопрос: «насколько знание одного признака помогает угадать другой». Тут направление важно, и чисел получается два. Представьте, что вы наугад берёте двух студентов с РАЗНЫМ уровнем тревожности и пытаетесь по этому угадать, у кого выше успеваемость. Значение d = 0,25 означает, что верных догадок на 25 % больше, чем неверных. А теперь возьмите двух студентов с разной успеваемостью и угадывайте по ней тревожность — это уже второй вопрос, и ответ будет другим.
Почему числа расходятся? Не потому, что «причина действует в одну сторону»: о причинах статистика ничего не знает. Дело в знаменателе. Когда предсказывающий признак — тревожность, из расчёта выбрасываются пары студентов с ОДИНАКОВОЙ тревожностью: угадывать по ней нечего. Когда предсказывающий признак — успеваемость, выбрасываются пары с одинаковой успеваемостью. Совпадений по этим двум признакам разное количество, поэтому и знаменатели разные.
В работу берут то направление, которое отвечает вашей гипотезе, и обязательно пишут словами, какой признак считается объясняющим. Если гипотеза ненаправленная («связаны ли удовлетворённость и стаж»), берут симметричный d Сомерса — он всегда лежит между двумя несимметричными.
Как читать величину связи
Знак показывает направление: «плюс» — чем выше один признак, тем выше другой; «минус» — чем выше один, тем ниже другой. Ноль означает, что согласованных и несогласованных пар поровну.
Модуль показывает силу, но шкала у гаммы своя. Гамма систематически больше по модулю, чем тау-b и ро Спирмена на тех же данных: у неё наименьший знаменатель, ведь все связки выброшены. Сравнивать гамму 0,45 с «корреляцией 0,45 из соседней работы» нельзя — это разные шкалы.
Смотреть на доверительный интервал важнее, чем на само число. Если интервал накрывает ноль, связи может не быть вовсе, каким бы внушительным ни выглядел коэффициент. Если интервал тянется от 0,1 до 0,8, сила связи по вашим данным попросту не определена: нужна выборка больше. На шестидесяти студентах интервал гаммы обычно шириной около 0,7 — это нормально, и признавать это надо честно.
Проверка расчёта, которую видно глазами: модуль гаммы всегда не меньше модуля тау-b, а симметричный d Сомерса всегда лежит между двумя несимметричными. Если вышло иначе — где-то ошибка в подсчёте пар.
Трактовка силы связи по модулю гаммы
| Модуль гаммы | Сила связи |
|---|---|
| до 0,10 | связь практически отсутствует |
| 0,10 – 0,29 | слабая связь |
| 0,30 – 0,49 | умеренная связь |
| 0,50 – 0,69 | заметная связь |
| 0,70 и выше | сильная связь |
Пороги общеприняты для порядковых мер связи, но не заменяют проверку значимости: на выборке в 20 человек гамма 0,5 запросто оказывается случайной, а на выборке в 500 значимой будет и 0,12.
Четыре меры на одной странице: чем они различаются
Числитель у всех один и тот же — перевес согласованных пар над несогласованными (P − Q). Различаются только знаменатели, то есть то, что делать с парами, совпавшими по одному из признаков.
Поэтому p-уровень у всех мер одинаковый: они отличаются лишь постоянным множителем, а при нулевой гипотезе он ничего не меняет. Так же выглядит таблица «Ordinal by Ordinal» в SPSS — одинаковые значения Approx. T в шести строках подряд смущают многих, но это не ошибка расчёта.
Что каждая мера делает со связками
| Мера | Знаменатель | Когда её берут |
|---|---|---|
| Гамма (γ) | только пары без совпадений | Главная мера: «связаны ли признаки» |
| d Сомерса, несимметричный | выброшены совпадения по предсказывающему признаку | «Насколько X предсказывает Y» |
| d Сомерса, симметричный | среднее двух предыдущих | Гипотеза без направления |
| Тау-b Кендалла | среднее геометрическое двух знаменателей d | Самая строгая оценка, для квадратных таблиц |
| Тау-c Кендалла (Стюарта) | поправка на форму таблицы | Когда уровней разное количество |
Как оформить результат в дипломе
В работе приводят: объём выборки, размер таблицы, число согласованных и несогласованных пар, само значение меры с доверительным интервалом, z и p-уровень, направление и силу связи. Отдельной фразой объясняют, почему взята гамма, а не корреляция Спирмена, — это первое, что спрашивают на защите.
Готовая формулировка: «Для оценки связи между признаками „уровень личностной тревожности“ и „успеваемость за семестр“, измеренными в порядковой шкале, использованы меры связи для таблицы сопряжённости 3×3 (n = 60). Из 1770 пар наблюдений 223 оказались согласованными и 505 несогласованными. Связь статистически значима: γ = −0,387 (95 % ДИ −0,723…−0,052), d Сомерса = −0,239, τ-b = −0,250; z = −2,12, p = 0,034. Связь обратная, по силе умеренная: чем выше уровень тревожности, тем ниже успеваемость».
Отдельно поясняют выбор метода: «оба признака измерены в порядковой шкале с небольшим числом градаций, поэтому доля совпадающих рангов велика и коэффициент Спирмена смещён к нулю; применены меры связи, устойчивые к совпадениям».
Рисунок к этому абзацу — столбчатая диаграмма долей: сколько процентов каждого уровня первого признака попало в каждый уровень второго. Именно доли, а не «сколько человек»: уровни обычно разного объёма. Калькулятор выгружает таблицу сопряжённости, таблицу мер связи и диаграмму в файл Word, где всё редактируется под требования кафедры.