Критерий Вилкоксона: полное руководство с формулами, таблицей и примером
Подробный разбор Т-критерия Вилкоксона: что это и что измеряет, когда применять для связанных выборок, формула, пошаговый алгоритм расчёта, таблица критических значений, пример и FAQ.
Т-критерий Вилкоксона — один из главных непараметрических методов в дипломах по психологии, педагогике и медицине. Его применяют, когда нужно доказать сдвиг показателя «до/после» у одних и тех же людей, а данные — это баллы или оценки.
В этом руководстве разберём всё по порядку: что измеряет критерий Вилкоксона, когда он подходит, его формула, пошаговый алгоритм расчёта, таблица критических значений, разобранный пример и частые вопросы.
А здесь — подробная теория, чтобы уверенно защититься. Если нужно просто посчитать свои данные — откройте калькулятор:
Что такое критерий Вилкоксона
Т-критерий Вилкоксона (критерий знаковых рангов, англ. Wilcoxon signed-rank test) — это непараметрический статистический критерий, который проверяет, значимо ли изменился показатель при двух замерах у одних и тех же испытуемых. Простыми словами, он отвечает на вопрос: «Сдвиг после воздействия реальный или случайный?»
Критерий предложил Фрэнк Уилкоксон в 1945 году — отсюда встречается и написание «критерий Уилкоксона» (ударение на «о»: Вилко́ксон). Метод ранговый: он работает не с самими числами, а с величиной и направлением сдвигов, поэтому не требует нормального распределения.
Что измеряет критерий Вилкоксона: достоверность сдвига значений в одной группе. Он не сравнивает две разные группы — для этого есть критерий Манна-Уитни.
Когда применяется критерий Вилкоксона
Критерий подходит, когда выполнены условия:
- Связанные (зависимые) выборки — одни и те же люди измерены дважды (до и после воздействия).
- Данные — баллы, оценки, ранги либо числовые измерения с ненормальным распределением.
- Оценивается сдвиг — направленное изменение показателя.
Если данные числовые, а их разности распределены нормально — корректнее и чуть мощнее парный критерий Стьюдента (проверьте нормальность критерием Шапиро-Уилка). Что выбрать в спорном случае — в статье «Стьюдент или Вилкоксон».
Для двух независимых групп нужен Манна-Уитни, а для трёх и более замеров — критерий Фридмана.
Чем критерий Вилкоксона отличается от Манна-Уитни
Это главная путаница, и она из-за имени: Уилкоксон придумал два разных критерия.
- Т-критерий Вилкоксона (знаковых рангов) — для связанных выборок: одни и те же люди, два замера (до/после).
- Критерий Манна-Уитни (он же U-критерий, в части источников — «критерий суммы рангов Уилкоксона») — для двух независимых групп: разные люди.
Не применяйте Т-критерий Вилкоксона к двум разным группам — там нужен Манна-Уитни. Сначала ответьте: это одни и те же люди дважды или разные группы.
Гипотезы критерия
- H₀ (нулевая): сдвига нет, изменения случайны.
- H₁ (альтернативная): сдвиг достоверен, изменение неслучайно.
Если расчёт показал значимость (p < 0,05) — принимаем H₁: изменение реально.
Формула критерия Вилкоксона
Считать вручную не обязательно — всё делает калькулятор. Но для понимания и для защиты полезно знать суть.
Эмпирическое значение T — это сумма рангов «нетипичных» сдвигов, то есть тех, чьё направление встречается реже:
T = Σ Rr
где Rr — ранги сдвигов с более редким направлением (например, ранги немногих ухудшений на фоне общего улучшения).
Для Вилкоксона действует обратное правило: чем меньше T, тем сильнее сдвиг. Значимость есть, когда T эмп ≤ T крит (в отличие от Стьюдента, где сравнивают наоборот).
При большой выборке (n > 25) пользуются нормальным приближением (z-аппроксимацией) — это тоже автоматически делает калькулятор.
Алгоритм расчёта: как считать вручную
Разберём шаги подробнее:
- Разности. Для каждого испытуемого считаем d = «после» − «до».
- Нулевые сдвиги. Пары, где значение не изменилось (d = 0), из расчёта исключаем; объём n уменьшается на их число.
- Ранжирование. Ранжируем модули разностей |d| по возрастанию. Одинаковым |d| присваиваем средний ранг.
- Сумма рангов. Определяем, какое направление сдвигов встречается реже (типичных или нетипичных), и складываем их ранги — это T эмп.
- Сравнение. Сравниваем T эмп с критическим T крит из таблицы: если T эмп ≤ T крит — сдвиг значим.
Таблица критических значений
Критическое значение T крит зависит от числа пар n (без нулевых сдвигов). Ниже — фрагмент таблицы.
Таблица 1 — Критические значения Т-критерия Вилкоксона (по Е. В. Сидоренко)
| n (пар) | T крит (p ≤ 0,05) | T крит (p ≤ 0,01) |
|---|---|---|
| 6 | 2 | — |
| 7 | 3 | 0 |
| 8 | 5 | 1 |
| 9 | 8 | 3 |
| 10 | 10 | 5 |
| 11 | 13 | 7 |
| 12 | 17 | 9 |
| 13 | 21 | 12 |
| 14 | 25 | 15 |
| 15 | 30 | 19 |
Например, для n = 24 критическое значение T крит = 81 (p ≤ 0,05). Полная таблица критических значений уже встроена в калькулятор критерия Вилкоксона — он сам берёт нужное значение по вашему n.
Разбор примера с расчётом
Психолог замерил ситуативную тревожность у 8 студентов до и после тренинга (баллы по шкале). Нужно проверить, значимо ли снизилась тревожность.
Таблица 2 — Расчёт Т-критерия Вилкоксона по данным «до/после» (n = 8)
| № | До | После | d = после − до | |d| | Ранг |d| | Знак |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 18 | 14 | −4 | 4 | 4 | − |
| 2 | 20 | 15 | −5 | 5 | 5,5 | − |
| 3 | 16 | 13 | −3 | 3 | 2,5 | − |
| 4 | 22 | 17 | −5 | 5 | 5,5 | − |
| 5 | 19 | 21 | +2 | 2 | 1 | + |
| 6 | 24 | 18 | −6 | 6 | 7 | − |
| 7 | 17 | 14 | −3 | 3 | 2,5 | − |
| 8 | 21 | 13 | −8 | 8 | 8 | − |
Нулевых разностей нет, значит n = 8. Реже встречается положительный сдвиг (всего один — у студента №5), значит «нетипичные» сдвиги — положительные. Их ранг один: 1.
T эмп = 1
По таблице для n = 8: T крит = 5 (p ≤ 0,05). Сравниваем: 1 ≤ 5 → сдвиг значим (более того, 1 ≤ 1 — значим и при p ≤ 0,01).
Медиана тревожности снизилась с 19,5 до 14,5 балла:
Вывод для диплома: «Уровень ситуативной тревожности после тренинга статистически значимо снизился (T = 1; n = 8; p < 0,01): медиана уменьшилась с 19,5 до 14,5 балла».
Как интерпретировать результат и что писать в дипломе
Главный показатель — p-значение (подробнее в статье «Что такое p-значение»):
- p < 0,05 — сдвиг статистически значим;
- p > 0,05 — значимых изменений нет.
В тексте укажите: сам критерий, эмпирическое T, число пар n и p, а также медианы «до» и «после» (для непараметрических методов описывают медианой, а не средним).
Критерий Вилкоксона в SPSS, Excel и онлайн
- В SPSS: «Анализ» → «Непараметрические критерии» → «Связанные выборки» → выбрать Вилкоксона. Программа выдаст статистику и p-значение.
- В Excel готовой функции для Вилкоксона нет — считают вручную по шагам выше или через надстройки.
- Онлайн проще всего: калькулятор критерия Вилкоксона сам ранжирует сдвиги, считает T, берёт критическое значение по n, выдаёт p и готовый вывод.
Частые ошибки
- Применять Вилкоксона к двум независимым группам. Для разных групп нужен Манна-Уитни.
- Не исключать нулевые разности. Пары без изменений в расчёт не входят, и n уменьшается.
- Описывать результат средним. Для рангового метода правильнее приводить медианы.
- Сравнивать три и более замеров попарно. Для 3+ связанных замеров нужен критерий Фридмана.
Частые вопросы
Что измеряет критерий Вилкоксона простыми словами?
Достоверность сдвига показателя «до/после» в одной группе: реально ли изменение или это случайность.
Критерий Вилкоксона — это то же, что Манна-Уитни?
Нет. Т-критерий Вилкоксона — для связанных выборок (до/после), Манна-Уитни — для двух независимых групп. Их часто путают из-за общего автора.
Сколько нужно испытуемых?
Минимум 5–6 пар с ненулевым сдвигом. Чем больше пар, тем надёжнее вывод; при n > 25 используют z-приближение.
Чем критерий знаков отличается от критерия Вилкоксона?
Критерий знаков учитывает только направление сдвигов (плюс/минус), а Вилкоксон — ещё и их величину через ранги, поэтому он мощнее.
Как правильно — Вилкоксон или Уилкоксон?
Допустимы оба варианта (англ. Wilcoxon). В русской статистической традиции чаще пишут «Вилкоксон».
Итог
Т-критерий Вилкоксона — непараметрический метод для связанных выборок (до/после у одних людей), подходит для баллов и ненормальных данных. Значимость есть, когда T эмп ≤ T крит. В выводе приводят T, n, p и медианы.
Посчитать свои данные за пару минут можно в калькуляторе критерия Вилкоксона — он сам проранжирует сдвиги, подберёт критическое значение и оформит вывод. А если нужна вся статистика под ключ — поможет консультация эксперта.
Не хотите разбираться со статистикой сами?
Эксперт подберёт метод, посчитает и оформит таблицы по ГОСТ под вашу тему.
Заказать консультацию