Критерий Колмогорова-Смирнова: проверка распределения

Вам нужно понять, «нормальное» ли у показателя распределение или сравнить два набора данных целиком — и кто-то посоветовал критерий Колмогорова-Смирнова. Звучит грозно, но идея у него простая.

Этот критерий смотрит не на одно число (среднее или медиану), а на форму распределения целиком. Разберём, что он делает, когда его брать вместо Шапиро-Уилка и как вписать результат в диплом.

В двух словах

• Критерий Колмогорова-Смирнова (часто пишут «К-С») сравнивает накопленные частоты и ищет самое большое расхождение между ними. У него две роли: проверить, похоже ли распределение на нормальное, и сравнить два распределения между собой.
• Критерий Шапиро-Уилка — тоже про нормальность, но он точнее на малых выборках (до 50 человек). Для диплома с небольшой выборкой это обычно главный инструмент.

Простое правило: малая выборка → Шапиро-Уилк; большая выборка или нужно сравнить два распределения → Колмогорова-Смирнова. О самой проверке нормальности есть отдельная статья — «Как проверить нормальность распределения».

Что вообще делает критерий Колмогорова-Смирнова

Чтобы понять механику, представьте не отдельные значения, а накопленную долю: какая часть людей набрала балл «не выше такого-то».

Пример. Вы выстраиваете студентов в очередь по росту от низких к высоким. В каждой точке считаете, сколько процентов очереди уже прошло. Получается плавная кривая, которая ползёт от 0 % до 100 %. Это и есть накопленное распределение.

Критерий К-С берёт две такие кривые и накладывает их друг на друга. Дальше он ищет место, где они расходятся сильнее всего, и измеряет этот максимальный разрыв. Сам разрыв обозначают буквой D (или λ — «лямбда» в старых учебниках).

• Если проверяем нормальность — одна кривая ваша, реальная, а вторая «идеальная», какой была бы при нормальном распределении.
• Если сравниваем две группы — обе кривые реальные: например, мальчики и девочки, контрольная и экспериментальная группы.

Чем больше разрыв D, тем сильнее распределения отличаются. Программа переводит D в привычное p-значение — именно по нему вы и делаете вывод, а не по самому числу D.

Как читать результат

Здесь работает то же правило, что и у других критериев нормальности, и новичков оно часто путает. Запомните логику «наоборот».

Гипотеза по умолчанию (H₀) звучит так: «распределение не отличается от нормального» (или «два распределения одинаковы»). Критерий проверяет, есть ли основания её отвергнуть.

• p > 0,05 — расхождение мало, оснований отвергать нет. Распределение можно считать нормальным (или две группы — одинаковыми). Это «хороший» исход, если вы хотите применять параметрические методы.
• p ≤ 0,05 — расхождение слишком велико, чтобы быть случайным. Распределение отличается от нормального (или группы различаются).

Если хотите освежить само понятие — загляните в статью «Что такое p-значение простыми словами».

Чем К-С отличается от Шапиро-Уилка

Оба проверяют нормальность, но решают это по-разному и работают лучше в разных условиях.

• Колмогорова-Смирнова. Сравнивает форму через накопленные частоты. Хорошо чувствует себя на больших выборках (грубо — от 50–100 наблюдений и выше). Универсален: умеет ещё и сравнивать два распределения между собой.
• Шапиро-Уилка. Заточен именно под проверку нормальности и считается самым чувствительным критерием на малых выборках. Если у вас 20–40 человек, он заметит отклонение там, где К-С промолчит.

В большинстве дипломов выборка небольшая (30–60 человек), поэтому по умолчанию берут именно Шапиро-Уилка. Критерий К-С вытаскивают, когда выборка крупная или когда нужна его «вторая профессия» — сравнение двух распределений.

Таблица 1 — Когда какой критерий нормальности выбрать

Из таблицы видно: для типичного студенческого диплома чаще подходит Шапиро-Уилка, а К-С — это «тяжёлая артиллерия» для больших данных и для сравнения групп.

Пример: проверяем нормальность перед выбором критерия

Покажем самый частый сценарий — нужно решить, каким критерием сравнивать показатель.

Пример. Вы измерили уровень мотивации у 120 студентов и хотите сравнить юношей и девушек. Прежде чем брать критерий Стьюдента, надо проверить нормальность. Выборка большая (120 человек), поэтому уместен критерий Колмогорова-Смирнова.

Загружаете баллы в калькулятор К-С и получаете, например, D = 0,061 и p = 0,28.

Читаем: p = 0,28 больше 0,05, значит, распределение не отличается от нормального. Путь открыт — можно применять параметрический критерий Стьюдента и в дипломе писать про средние значения.

А вот другой исход того же примера: D = 0,142 и p = 0,004. Здесь p меньше 0,05 — распределение ненормальное. Стьюдента брать нельзя, переходим на непараметрический критерий Манна-Уитни. Подробнее о развилке — в статье «Параметрические и непараметрические критерии».

Что писать в дипломе

В тексте обязательно укажите сам критерий, его статистику D и p-значение. Без этих чисел вывод «распределение нормальное» не считается доказанным.

Готовые формулировки для проверки нормальности:

• «Проверка нормальности распределения по критерию Колмогорова-Смирнова показала отсутствие значимых отклонений от нормального закона (D = 0,061; p = 0,28), что позволяет применять параметрические методы».
• «Распределение показателя значимо отличается от нормального (D = 0,142; p = 0,004), поэтому для сравнения групп использован непараметрический критерий».

Для сравнения двух распределений:

• «Распределения уровня тревожности в контрольной и экспериментальной группах значимо различаются (D = 0,31; p = 0,01)».
• «Статистически значимых различий между распределениями не выявлено (D = 0,12; p = 0,42)».

Если показатели описываете рядом, удобно свести их в таблицу нормальности (D и p по каждой переменной) — как оформлять, смотрите в статье «Как оформить таблицы и рисунки в дипломе».

Частые ошибки

• Читать p-значение наоборот. При проверке нормальности значимым (плохим) считается p < 0,05 — это признак ненормальности. Здесь «значимо» означает «значимо отличается от нормы».
• Брать К-С на маленькой выборке. На 20–30 наблюдениях он слабо чувствует отклонения и почти всегда «разрешает» нормальность. На малых выборках надёжнее Шапиро-Уилка.
• Путать две роли критерия. Одно дело — сравнить ваши данные с нормальным эталоном (проверка нормальности), другое — сравнить две реальные группы. Это разные задачи, не смешивайте их в одном предложении.
• Делать вывод о методе только по картинке. Гистограмма «на глаз» — лишь подсказка. Решает именно расчёт с D и p-значением.
• Сравнивать средние без проверки нормальности. Сначала проверяете распределение, и только потом выбираете параметрический или непараметрический критерий.

Частые вопросы

Чем критерий Колмогорова-Смирнова лучше Шапиро-Уилка?

Он универсальнее: умеет не только проверять нормальность, но и сравнивать два распределения между собой. А ещё стабильно работает на больших выборках. Но именно по чувствительности к ненормальности на малых выборках Шапиро-Уилка его обычно превосходит.

Что такое поправка Лиллиефорса?

Классический критерий К-С предполагает, что параметры нормального распределения (среднее и отклонение) известны заранее. На практике их берут из тех же данных, и тогда критерий становится слишком «мягким». Поправка Лиллиефорса это исправляет — многие программы применяют именно её. Вам как студенту достаточно смотреть на итоговое p-значение в калькуляторе.

У меня вышло p < 0,05 — это плохо?

Не плохо, просто ваши данные ненормальные. Это нормальная ситуация: значит, вместо параметрических критериев (Стьюдента, Пирсона) вы берёте непараметрические — Манна-Уитни, Вилкоксона, Спирмена. Диплом от этого не страдает.

Что писать про сам критерий — D или λ?

Это одно и то же по сути: D — современное обозначение максимального разрыва, λ (лямбда) — старое из учебников. Приводите то значение, которое выдал ваш калькулятор, вместе с p-значением. Чаще всего сегодня пишут D.

Можно ли К-С использовать для баллов анкеты?

Можно, если выборка большая. Но помните: баллы анкеты — порядковая шкала, и для них чаще сразу берут непараметрические критерии, не цепляясь за нормальность. О типах шкал — в статье «Шкалы измерения».

Короткий алгоритм

1. Посмотрите на размер выборки. До ~50 человек → Шапиро-Уилка, больше → Колмогорова-Смирнова.
2. Нужно сравнить два распределения целиком? Сразу берите К-С.
3. Прогоните данные через калькулятор, посмотрите на p-значение.
4. p > 0,05 — распределение нормальное → параметрические критерии. p ≤ 0,05 — ненормальное → непараметрические.

Что ещё почитать

• Как проверить нормальность распределения — все способы и пошаговый разбор.
• Что такое нормальное распределение — откуда берётся «колокол» и зачем он нужен.
• Параметрические и непараметрические критерии — куда идти после проверки нормальности.
• Калькулятор Колмогорова-Смирнова и калькулятор Шапиро-Уилка — посчитать онлайн за минуту.

Не уверены, какой критерий нормальности взять и что делать с результатом — загляните в базу методов или закажите консультацию: эксперт проверит распределение и подберёт критерий за вас.