ANOVA с повторными измерениями: для замеров во времени

Вы измерили один и тот же показатель у одних и тех же людей не два, а три и более раз — например, перед программой, в середине и в конце. Хочется доказать, что динамика реальна, а не случайна. И тут возникает соблазн сравнить замеры попарно несколькими критериями — но это путь к ошибке.

Правильный инструмент для такой задачи — дисперсионный анализ с повторными измерениями (его ещё называют repeated-measures ANOVA, или RM-ANOVA). Разберём, когда он нужен, что такое загадочная «сферичность» и чем его заменить, если данные не дотягивают до нормального распределения.

В двух словах

• Дисперсионный анализ с повторными измерениями проверяет, значимо ли меняется показатель при 3+ замерах у одних и тех же людей. Это «брат» обычного дисперсионного анализа, только для связанных замеров, а не для разных групп.
• Если данные числовые и распределены нормально — берут именно его. Если это баллы анкет или распределение ненормальное — непараметрический аналог, критерий Фридмана.

Главное правило: 3 и более замера у тех же людей → один общий тест, а не куча отдельных сравнений «до vs после», «до vs середина» и так далее.

Когда нужен дисперсионный анализ с повторными измерениями

Метод подходит, когда одновременно выполнены условия:

1. Связанные замеры — это одни и те же люди, измеренные несколько раз. Каждый человек проходит через все точки.
2. Три и более замера (k ≥ 3): до / в середине / после; или четыре контрольные точки сезона и т. п.
3. Данные — количественные измерения (секунды, метры, миллиграммы, баллы шкалы как числа).
4. Распределение показателя в каждой точке близко к нормальному (проверяют критерием Шапиро-Уилка; p > 0,05 — нормальное).

Пример. У 18 пловцов замерили время на 50 м трижды: в начале, в середине и в конце сборов. Время — числовое измерение, разброс нормальный → дисперсионный анализ с повторными измерениями.

Если замеров ровно два (только до и после), отдельный метод не нужен — берут парный критерий Стьюдента. RM-ANOVA — именно для трёх и более точек.

Чем он отличается от обычного ANOVA

Оба метода называются «дисперсионный анализ», но работают с разными данными — и это главная путаница.

• Обычный (однофакторный) ANOVA сравнивает разные группы людей: три потока, три методики, три класса. Люди в группах не пересекаются.
• ANOVA с повторными измерениями сравнивает один и тот же набор людей в нескольких точках. Это не разные группы, а один состав, прошедший все замеры.

Почему нельзя просто прогнать обычный ANOVA по трём замерам? Потому что он считает их независимыми. А ваши замеры связаны: тот, кто медленно плыл в начале, скорее всего и в середине не в лидерах. RM-ANOVA это учитывает: он «вычитает» индивидуальные различия между людьми и за счёт этого видит динамику чётче.

Почему нельзя сравнивать «несколькими Стьюдентами»

Самая частая ошибка с тремя замерами — сравнить все пары парным критерием Стьюдента: «до vs середина», «середина vs после», «до vs после». Так делать нельзя без поправки.

Каждое сравнение допускает 5% риска «увидеть» различие там, где его нет (это ошибка первого рода, подробно — в статье «Ошибки первого и второго рода»). Когда сравнений несколько, эти проценты складываются: для трёх пар суммарный риск ложного вывода уже около 14%, а не 5%.

Правильный порядок такой:

1. Сначала один общий тест (RM-ANOVA) на все замеры сразу.
2. Если он значим (p < 0,05) — тогда делают попарные сравнения с поправкой (например, поправкой Бонферрони: делят порог 0,05 на число пар).
3. Если общий тест незначим — попарные сравнения не нужны, динамики нет.

Условие сферичности простыми словами

У RM-ANOVA есть особое требование — сферичность (в отчётах SPSS его проверяет «тест Мокли», англ. Mauchly). Звучит пугающе, но идея простая.

Между замерами есть разности: «середина минус начало», «конец минус середина», «конец минус начало». Сферичность означает, что эти разности колеблются примерно одинаково — ни одна пара замеров не «прыгает» заметно сильнее других.

Пример. Представьте, что от начала к середине у всех результат меняется плавно и кучно, а вот к концу у кого-то рывок, у кого-то спад — разброс этой разности резко больше. Тогда сферичность нарушена: пары замеров ведут себя по-разному.

Зачем это нужно знать? Если сферичность нарушена, обычный расчёт завышает значимость — можно получить «ложное» p < 0,05. К счастью, лечится это легко.

Непараметрический аналог — критерий Фридмана

Дисперсионный анализ — параметрический метод: ему нужны числовые данные и близкое к нормальному распределение. Если этого нет, его не применяют.

В двух типичных ситуациях берут непараметрический аналог — критерий Фридмана:

• данные — баллы анкеты, оценки, ранги (порядковая шкала), а не «настоящие» измерения;
• распределение далеко от нормального (сильные выбросы, перекос), даже если данные числовые.

Фридман решает ту же задачу — сравнивает 3+ связанных замера, — но работает не со средними, а с рангами внутри каждого человека, поэтому к форме распределения нечувствителен. Как он устроен и считается вручную — в руководстве по критерию Фридмана. Что вообще значит «параметрический / непараметрический» — в статье «Параметрические и непараметрические критерии».

Когда брать дисперсионный анализ, а когда Фридмана

Чтобы не запутаться, держите перед глазами короткую развилку — она же на схеме ниже.

Берите дисперсионный анализ с повторными измерениями, если:

• замеров три и больше у одних и тех же людей;
• данные — числовые измерения (время, рост, объём, концентрация);
• распределение в каждой точке нормальное (Шапиро-Уилк: p > 0,05).

Берите критерий Фридмана, если:

• замеров тоже три и больше у тех же людей, но
• данные — баллы, оценки, ранги, либо
• распределение ненормальное (выбросы, перекос, очень малая выборка).

Как читать результат и пример с числами

После расчёта метод выдаёт несколько чисел. Главные — статистика F (с двумя числами степеней свободы) и p-значение (как его понимать — в статье «Что такое p-value»).

Пример. У 18 пловцов сравнили время на 50 м в трёх точках сборов. Получили F = 12,4; p = 0,001. Поскольку p < 0,05, динамика по замерам значима. Затем попарные сравнения с поправкой Бонферрони показали, где именно произошёл сдвиг.

Результат удобно свести в таблицу. На таблицу в тексте ссылаются прямо: «динамика представлена в таблице 1».

Таблица 1 — Динамика времени на 50 м по трём замерам сборов (n = 18)

После таблицы — короткий вывод словами: «Среднее время улучшается от 31,8 с в начале до 30,1 с в конце; различия между замерами статистически значимы (F = 12,4; p = 0,001)».

Пример. А вот обратная ситуация: у 15 студентов трижды за семестр замерили объём кратковременной памяти (числовой тест), распределение нормальное. Получили F = 1,2; p = 0,31. Здесь p > 0,05 — значимой динамики нет, и попарные сравнения уже не нужны.

Что писать в дипломе

Для дисперсионного анализа с повторными измерениями в тексте обязательно указывают: сам метод, статистику F, степени свободы, число испытуемых n и p-значение, а для наглядности — средние по каждому замеру.

Готовые формулировки:

• «Применён дисперсионный анализ с повторными измерениями для трёх замеров показателя у одних и тех же испытуемых (n = 18)».
• «Выявлены статистически значимые различия между замерами (F = 12,4; p < 0,05): среднее улучшилось с 31,8 до 30,1 с».
• «Попарное сравнение с поправкой Бонферрони показало значимый сдвиг между первым и третьим замером (p < 0,05)».
• «Статистически значимых различий между замерами не выявлено (F = 1,2; p = 0,31)».

Если данные были балльными и вы взяли Фридмана, формулировка та же по смыслу, но со статистикой χ² и медианами по замерам вместо средних. Как описывать результаты в целом — в статье «Эффективность тренировки статистикой».

Частые ошибки

• Прогонять обычный ANOVA по трём замерам одних людей. Он считает замеры независимыми и теряет точность — нужен именно вариант с повторными измерениями (или Фридман).
• Сравнивать замеры несколькими Стьюдентами без поправки. Накапливается ошибка первого рода — сначала общий тест.
• Игнорировать сферичность. При её нарушении берут p с поправкой Гринхауса-Гейссера, иначе значимость завышена.
• Применять метод к баллам анкет или ненормальным данным. Тогда корректнее критерий Фридмана.
• Делать попарные сравнения, когда общий тест незначим. Если динамики нет, искать её между парами незачем.

Частые вопросы

Чем дисперсионный анализ с повторными измерениями отличается от обычного?

Обычный сравнивает разные группы людей, а вариант с повторными измерениями — одних и тех же людей в нескольких точках во времени. За счёт связанности данных он точнее замечает динамику.

Что такое сферичность простыми словами?

Это требование, чтобы разности между парами замеров колебались примерно одинаково. Если у какой-то пары разброс резко больше, сферичность нарушена — тогда берут p с поправкой Гринхауса-Гейссера.

Что делать, если данные ненормальные или это баллы анкеты?

Перейти на непараметрический аналог — критерий Фридмана. Он сравнивает те же 3+ связанных замера, но по рангам, и нормальность ему не нужна.

У меня только два замера — это тоже сюда?

Нет. Для двух замеров у одних людей берут парный критерий Стьюдента (или Вилкоксона для баллов). Дисперсионный анализ с повторными измерениями нужен от трёх точек.

Метод показал значимость — как понять, между какими замерами разница?

Общий тест говорит только «динамика где-то есть». Чтобы найти, где именно, делают попарные сравнения с поправкой на множественность (например, Бонферрони).

А если у меня разные группы, а не повторные замеры?

Тогда это не повторные измерения. Для 3+ независимых групп берут обычный дисперсионный анализ, а для баллов и ненормальных данных — критерий Краскела-Уоллиса.

Короткий алгоритм

1. Убедитесь, что замеры связанные (одни люди) и их три и больше.
2. Проверьте данные: числовые и нормальные (Шапиро-Уилк) → дисперсионный анализ с повторными измерениями; баллы или ненормальные → Фридман.
3. Запустите один общий тест на все замеры сразу.
4. При нарушении сферичности возьмите p с поправкой Гринхауса-Гейссера.
5. Если результат значим (p < 0,05) — сделайте попарные сравнения с поправкой и опишите средние (для Фридмана — медианы) по замерам.

Что ещё почитать

• Калькулятор критерия Фридмана — посчитать непараметрический аналог онлайн.
• Дисперсионный анализ (ANOVA): полное руководство — базовый метод для независимых групп.
• Руководство по критерию Фридмана — механика рангового аналога с примером.
• Множественные сравнения и поправка Бонферрони — как корректно сравнивать пары замеров.
• Как проверить нормальность распределения — ключевое условие для параметрического варианта.

Не уверены, какой метод подойдёт вашим данным — загляните в базу методов или закажите консультацию: эксперт подберёт критерий и посчитает всё за вас.