Угловое преобразование Фишера (критерий φ*): руководство

Угловое преобразование Фишера (критерий φ*, «фи-угловое») — это метод для сравнения двух групп по доле (проценту) объектов, у которых есть некий признак. Например: в экспериментальной группе задание выполнили 70% участников, в контрольной — 40%. Различие реальное или случайное? На этот вопрос и отвечает φ*.

В руководстве разберём по порядку: что такое угловое преобразование Фишера, когда его брать вместо сравнения средних, гипотезы, формулу, пошаговый алгоритм, критические значения, разобранный пример и частые вопросы.

Если нужно просто посчитать — воспользуйтесь онлайн-калькулятором критерия φ* Фишера. А здесь — теория, чтобы уверенно защититься.

🧮Онлайн-калькулятор критерия φ* ФишераПосчитайте свои данные за пару минут — нажмите, чтобы открыть→

Что такое угловое преобразование Фишера

Критерий φ (угловое преобразование Фишера)* сравнивает две выборки по доле объектов с определённым эффектом: «эффект есть / эффекта нет». Простыми словами, он отвечает на вопрос: «В одной группе доля „успехов“ действительно выше, чем в другой, — или это случайность выборки?»

Суть метода — в трюке с углами. Доли (проценты) сами по себе сравнивать «неудобно»: у них неравномерный разброс на краях шкалы. Поэтому каждый процент переводят в угол по формуле φ = 2·arcsin(√P), а уже углы сравнивают между собой. Чем больше разница углов и чем крупнее выборки — тем достовернее различие.

Когда применять критерий φ*

Берите угловое преобразование Фишера, когда одновременно выполнены условия:

1. Две группы (выборки) — например, контрольная и экспериментальная, мужчины и женщины.
2. Признак дихотомический: у каждого объекта эффект либо есть, либо нет (справился / не справился, выбрал / не выбрал).
3. Сравнивается доля (процент) объектов с эффектом в одной группе с долей в другой.

Пример. В тренинговой группе уверенно прошли тест 18 из 25 человек (72%), в контрольной — 9 из 30 (30%). Нужно доказать, что в тренинговой доля «успешных» выше. Это типичная задача для φ*.

Если вы сравниваете не доли, а средние баллы — нужен критерий Стьюдента или непараметрический Манна-Уитни. Чем параметрические методы отличаются от ранговых — в статье «Параметрические и непараметрические критерии». А выбрать метод под свою задачу помогает «Как выбрать статистический критерий».

Гипотезы критерия

• H₀ (нулевая): доля объектов с эффектом в группе 1 не больше, чем в группе 2 (различие случайно).
• H₁ (альтернативная): доля объектов с эффектом в группе 1 больше, чем в группе 2.

Если расчёт показал значимость — принимаем H₁: доля в первой группе достоверно выше.

Формула критерия φ*

Считать вручную не обязательно — всё сделает калькулятор. Но для понимания и для защиты полезно знать суть.

Шаг 1. Каждую долю P (в виде дроби: 60% → 0,6) переводят в угол φ:

φ = 2 · arcsin(√P)

Шаг 2. Считают эмпирическое значение φ* по углам обеих групп и их объёмам:

φ*эмп = (φ₁ − φ₂) · √( n₁ · n₂ / (n₁ + n₂) )

где φ₁ и φ₂ — углы для долей первой и второй групп, n₁ и n₂ — объёмы групп.

Мини-таблица значений φ

Чтобы не считать арксинусы вручную, удобно держать под рукой готовые значения угла φ для частых процентов.

Таблица 1 — Значения угла φ = 2·arcsin(√P) для разных долей

Полная таблица φ для всех процентов от 0 до 100 уже встроена в калькулятор φ* Фишера — он сам переведёт ваши проценты в углы.

Алгоритм расчёта: как считать вручную

Разберём шаги подробнее:

1. Доли. Считаем долю объектов с эффектом в каждой группе: P = (число с эффектом) / (объём группы).
2. Углы. Переводим P₁ и P₂ в углы φ₁ и φ₂ по формуле или по таблице 1.
3. φ*эмп. Подставляем углы и объёмы n₁, n₂ в формулу.
4. Сравнение. Сравниваем φэмп с критическим φкрит.
5. Вывод. Если φэмп ≥ φкрит — доля в первой группе достоверно выше.

Критические значения φ*

Критические значения φ* не зависят от объёма выборки — это всего два числа:

Таблица 2 — Критические значения критерия φ* Фишера

Если φэмп ≥ 1,64 — различие долей значимо на уровне 5%; если φэмп ≥ 2,31 — на уровне 1%. Если φ*эмп < 1,64 — значимых различий нет.

Разбор примера с расчётом

Психолог сравнивает две группы. В экспериментальной (n₁ = 30) задание выполнили 70%, в контрольной (n₂ = 35) — 40%. Нужно проверить, выше ли доля справившихся в экспериментальной группе.

Таблица 3 — Исходные данные и расчёт критерия φ*

Шаг 1. Разность углов: φ₁ − φ₂ = 1,982 − 1,369 = 0,613.

Шаг 2. Множитель по объёмам:

√( n₁·n₂ / (n₁ + n₂) ) = √( 30·35 / 65 ) = √16,15 = 4,019

Шаг 3. Эмпирическое значение:

φ*эмп = 0,613 · 4,019 = 2,46

Шаг 4. Сравнение: 2,46 ≥ 2,31 → различие значимо даже на уровне p ≤ 0,01.

Вывод для диплома: «Доля справившихся с заданием в экспериментальной группе (70%) статистически значимо выше, чем в контрольной (40%): φ*эмп = 2,46; p < 0,01».

Ограничения метода

Угловое преобразование Фишера простое, но у него есть рамки.

• Доли не должны быть 0% или 100%. При P = 0 или P = 1 угол φ ведёт себя некорректно, и расчёт теряет смысл. Если в группе «эффект» у всех или ни у кого — метод неприменим.
• Осторожно с очень малыми выборками. При единичных наблюдениях оценка доли ненадёжна, вывод может быть случайным.
• Только две группы и один дихотомический признак. Для трёх и более групп или сложных таблиц частот берите критерий χ².
• Односторонняя логика. Классический φ* проверяет, что доля в группе 1 больше, чем в группе 2; учитывайте это при формулировке гипотез.

Частые ошибки

• Применять φ к средним баллам.* Угловое преобразование сравнивает доли/проценты, а не средние. Для средних — Стьюдент или Манна-Уитни.
• Брать долю 0% или 100%. При крайних значениях метод не работает — пересмотрите признак или объедините категории.
• Путать с F-критерием и точным критерием Фишера. Это три разных метода.
• Сравнивать φ*эмп не с тем порогом. Критические значения фиксированы: 1,64 (p ≤ 0,05) и 2,31 (p ≤ 0,01).
• Применять к трём и более группам. Для этого нужен χ².

Частые вопросы

Что измеряет критерий φ* простыми словами?

Достоверно ли доля (процент) объектов с неким признаком в одной группе выше, чем в другой. Например, выше ли доля справившихся с заданием в экспериментальной группе по сравнению с контрольной.

Это тот же критерий Фишера, что в дисперсионном анализе?

Нет. F-критерий в ANOVA сравнивает дисперсии и средние. Угловое преобразование φ* — отдельный метод для сравнения долей, его популяризировала Е. В. Сидоренко.

Чем φ* отличается от хи-квадрат?

Оба сравнивают доли/частоты. φ* удобен для двух групп и одного дихотомического признака, особенно на небольших выборках; χ² гибче работает с таблицами частот и несколькими категориями.

Почему доли переводят в углы?

Чтобы выровнять разброс: у долей он неравномерен у краёв шкалы (около 0% и 100%). Угловое преобразование φ = 2·arcsin(√P) делает разброс почти постоянным, и доли становится корректно сравнивать.

Сколько нужно человек в группах?

Чётких минимумов нет, но при очень малых выборках вывод ненадёжен. Желательно хотя бы по 5–10 объектов в каждой группе, и чем больше — тем достовернее.

Что писать в дипломе кроме φ*?

Приводят сами доли (проценты) и объёмы обеих групп, значение φ*эмп и уровень значимости (p < 0,05 или p < 0,01).

Что ещё почитать

• Критерий χ² (хи-квадрат): полное руководство — другой метод для частот и таблиц сопряжённости.
• Как выбрать статистический критерий — какой метод под ваши данные.
• Что такое p-значение простыми словами — как читать результат.

Итог

Посчитать свои данные за пару минут можно в калькуляторе критерия φ* Фишера — он сам переведёт проценты в углы, вычислит φ*эмп и оформит вывод. Все методы собраны в базе методов, а если нужна статистика под ключ — поможет консультация эксперта.